Dinámica del m.a.s.: El oscilador armónico

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Ejercicio resuelto: Un taladro vibra con un m.a.s. a una frecuencia de 20 Hz. ¿Cuál es la aceleración máxima de la cabeza del taladro si la amplitud de la oscilación es de 5 cm?

Como la frecuencia es 20 Hz, la pulsación será: ω = 2 π·f = 2 π·20 = 40 π rad/s

La aceleración máxima es: a_máx = ω²·A = (40 π)²·0,05 = 789,6 m/s²

Ejercicio resuelto: Una partícula está animada de un m.a.s. de amplitud 10 cm. La relación existente entre la aceleración y la posición de la partícula es a = - 16 π2 x. Si has empezado a contar el tiempo cuando la partícula pasaba por x = - 10 cm, ¿cuál es la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo?¿Y la de la velocidad?¿Y la de la aceleración?

a = -ω²·x = -16 π²·x , por tanto, ω² = 16·π² y ω = 4 π rad/s.

Como la amplitud es 0,1 m, queda: x = A sin (ω·t + φ_o) = 0,1 sin (4π·t + φ_o)

Al empezar a contar el tiempo (t = 0), x = -0,1 m = 0,1 sin φ_o, y sin φ_o = -1, así que φ_o= -π/2 y la ecuación del movimiento:

x = 0,1 sin (4π·t - π/2)

La ecuación de la velocidad la puedes calcular: v = dx/dt = 0,1·4π cos (4π·t - π/2) = 0,4 π cos (4π·t - π/2)

y la aceleración: a = - ω²·x = - 16 π²·0,1 sin (4π·t - π/2) = - 1,6 π² sin (4π·t - π/2)

Ejercicio resuelto: Una partícula tiene un m.a.s. de amplitud 10 cm. Cuando la partícula se encuentra en x = 5 cm, el módulo de su velocidad y el de su aceleración coinciden, ¿cuál es el período del movimiento?

;

y el período será: T = 2π/ω = 2π/1,73 = 3,6 s

Acabas de ver cómo todo m.a.s. presenta una aceleración directamente proporcional a la posición pero de signo contrario (a = -ω²·x). Además, el curso pasado estudiaste las leyes de Newton, fundamento de la mecánica. Puedes recordar que la segunda ley de Newton relacionaba la acción de una fuerza sobre un cuerpo con el cambio de su aceleración: F = m·a.

Una de las consecuencias de la acción de las fuerzas sobre la materia es que puede llegar a deformarla. Entre los distintos comportamientos destacan aquellos cuerpos que, aún deformándose, recuperan la forma inicial cuando la fuerza deja de actuar; estos cuerpos reciben el nombre de elásticos. La deformación de estos cuerpos obedece a la conocida como Ley de Hooke, donde existe una fuerza restauradora F que es directamente proporcional a su elongación:

El oscilador armónico es el ejemplo más simple de sistema físico que describe un movimiento vibratorio armónico simple, y corresponde a un sistema sobre el que actúa únicamente una fuerza restauradora que obedece a la ley de Hooke.

La ecuación que describe el movimiento de este sistema puede encontrarse de una forma muy sencilla, teniendo en cuenta que únicamente interesa la dirección en la que se produce el movimiento. Para ella:

Como el movimiento de este sistema es del tipo armónico simple, es posible sustituir el valor de la aceleración por el que ya se obtuvo en el punto anterior (a = -ω²·x), resultando

donde sustituye al producto  , ya que la masa del oscilador y la pulsación son constantes. Por tanto,  y la frecuencia angular es:

Importante: el movimiento de un oscilador armónico está determinado por su frecuencia angular o pulsación (ω)que viene dada por la expresión:

Si recuerdas la expresión del periodo en función de la frecuencia angular (T = 2·π/ω), puede obtenerse el periodo de un oscilador armónico:

Y como la frecuencia es la inversa del periodo, es inmediato encontrar que:

Observa cómo el periodo de oscilación depende únicamente de la masa del oscilador y de la constante elástica del muelle, siendo independiente de la amplitud de la misma.

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