Aceleración en el m.a.s.

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Fuerzas sobre la bolita

Cuando la plataforma se encuentra en la posición x las fuerzas sobre la bolita que descansa en la plataforma son

● El peso, mg

● La reacción o fuerza que ejerce la plataforma, N

Cuando la plataforma está por debajo del origen x<0, la aceleración a es positiva

La segunda ley de Newton se escribe

N-mg=-mω²x

N=mg-mω²x

Como x<0  la reacción N es siempre mayor que el peso

Cuando la plataforma está por encima del origen x>0, la aceleración a es negativa

La segunda ley de Newton se escribe

N-mg=-mω²x

N=mg-mω²x

Como x>0  la reacción N es siempre menor que el peso

La máxima aceleración se produce cuando la plataforma alcanza el punto de retorno x=A. La bolita permanecerá sobre la plataforma siempre que N>0, es decir siempre que

mg> mω²A o bien, que g>ω²A

Cuando N se hace cero la bolita deja de estar en contacto con la plataforma, esto se produce en la posición x₀>0 tal que

g=ω²x₀

En el instante t₀ tal que

g ω 2 =−Acos⁡(ω t 0 )

La velocidad de la plataforma y la inicial de la bolita son

v₀=A·ωsin (ωt₀)

La bolita se mueva baja la acción de la aceleración constante de la gravedad.

y= x 0 + v 0 (t− t 0 )− 1 2 g ( t− t 0 ) 2

La bolita chocará repetidamente con la plataforma, pero esta situación más avanzado se estudia en la página titulada "Una bola que cae y rebota sobre un pistón que oscila verticalmente"

Ejemplo.

Sea la amplitud A=0.1, la bolita se desprende de la plataforma si la frecuencia angular ω es mayor que ω_c o el periodo P<P_c.

ω c = g A    ω c = 9.8 0.1 =9.90 rad/s P c = 2π ω c =0.63 s

Si el periodo P=0.45 s, la frecuencia angular es ω=13.96 rad/s

La bolita se desprende en la posición x₀=0.05 m

En el instante t₀, tal que

x₀=-0.1cos (ωt₀), t₀=0.15 s

La velocidad inicial de la bolita en dicho instante es

v₀=0.1ωsin (ωt₀)=1.21 m/s

Importante: La pulsación, el período y la frecuencia del movimiento armónico simple guardan la misma relación que en el caso del movimiento circular:

Ejercicio resuelto: Un cuerpo tiene un movimiento vibratorio armónico simple con un período de 2 s. ¿Cuál es la frecuencia del m.a.s.?¿Y la pulsación?

Como la frecuencia es:

Y la pulsación:

2.2 Velocidad en el m.a.s.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, puedes obtener la velocidad derivando la posición respecto al tiempo. Derivando la ecuación de la posición de un m.a.s. respecto al tiempo, es posible obtener la ecuación general de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo:

Puedes expresar la velocidad anterior en función de la elongación. Para ello debes usar la conocida relación trigonométrica sin² α + cos² α = 1 y las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad:

Observa que, para un mismo valor de x, la velocidad puede ser positiva o negativa:

● Positiva si el movimiento tiene lugar en el sentido positivo y negativa si el movimiento se produce en el sentido de las elongaciones decrecientes.

● La velocidad es máxima cuando x = 0 y es nula cuando x = ± A, es decir, en los extremos de la trayectoria.

Importante: La ecuación de la velocidad en un m.a.s. es una magnitud periódica que puede expresarse de dos formas:

- En función del tiempo;

- En función de la posición;

Ejercicio resuelto: Una partícula describe un m.a.s. de amplitud 5 cm. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidad es de 0,16· m/s. ¿Cuál es el período del movimiento de la partícula?¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?

La ecuación de la velocidad en función de la posición: te permite calcular la pulsación:

y el período del movimiento:

Al pasar por la posición de equilibrio (x=0) la velocidad será:

El signo dependerá del sentido del movimiento.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Condiciones iniciales:

Si conoces la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ en el instante t = 0.

Ejercicio resuelto: Un cuerpo que realiza un m.a.s. con una frecuencia de 20 Hz y una amplitud de 5 cm, en el instante inicial se encuentra a 2,5 cm de su posición de equilibrio, desplazándose en sentido positivo. ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en cualquier instante?

La pulsación es: ω = 2 π f = 2 π 20 = 40 π rad/s

Si sustituyes en la ecuación de la posición, x = A sin (ω t + φ_o) = 0,05 sin (40 π t + φ_o)

y en la velocidad, v = A ω cos (ω t + φ_o) = 0,05 · 40 π cos (40 π t + φ_o)

y para t =0 → 0,025 = 0,05 sin φ_o → sin φ_o = 0,5 → φ_o = 30º o 150º

si sustituyes t = 0 en la ecuación de la velocidad podrás saber si la solución es 3oº o 150º: v_o = 0,05 · 40 π cos φ_o

para que v_o sea positivo, el cos φ_o debe ser positivo y φ_o = 30º = π/6 rad

La ecuación de la elongación es, por tanto, x = 0,05 sin (40 π·t + π/6) y la velocidad, v = dx/dt = 40 π·0,05 cos (40 π·t + π/6)= 2π cos(40 π·t + π/6)

Ejercicio resuelto: Una partícula que describe un m.a.s. tiene una velocidad de 3 m/s cuando pasa por la posición x= 4 m y una velocidad de 4 m/s cuando pasa por x= 3 m.¿Cuál es la amplitud de la oscilación?¿Qué velocidad lleva cuando pasa por la posición de equilibrio?

La velocidad en función de la posición es:

Elevando al cuadrado   y sustituyendo:

dividiendo una por otra: , queda A = 5 m.

Si sustituyes en una cualquiera de las ecuaciones anteriores obtienes ω = 1 rad/s y la velocidad al pasar por la posición de equilibrio (x = 0)

v = ± ω A = ± 5 m/s. Signo + cuando se mueva en sentido positivo y signo - en sentido opuesto.

La última magnitud cinemática es la aceleración, que se calcula como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

En el apartado anterior se obtuvo la ecuación de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo. Derivando esta ecuación respecto del tiempo, se obtiene la ecuación general de la aceleración de un m.a.s.:

La última igualdad te muestra que la aceleración es directamente proporcional a la elongación y de sentido opuesto a ella. La aceleración está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.

Importante: La aceleración en un m.a.s. es una magnitud periódica que puede expresarse de dos formas:

- En función del tiempo;

- En función de la posición;

En la siguiente animación puedes observar cómo varían los vectores posición, velocidad y aceleración en un móvil con movimiento vibratorio armónico simple. Fíjate que cuando pasa por la posición de equilibrio, el vector posición y la aceleración se anulan, mientras que la velocidad es máxima.

Resulta de interés representar gráficamente de forma simultánea las tres ecuaciones cinemáticas de un m.a.s. tal y como se muestran a continuación (Si pulsas sobre la imagen puedes acceder a una simulación en la que es posible variar los parámetros del movimiento):

A la vista de esta representación, pueden extraerse unas conclusiones muy interesantes:

● La velocidad y la aceleración de un m.a.s. son magnitudes periódicas.

● La gráfica de la posición está desplazada π/2 respecto a la de la velocidad.

● La velocidad se anula en los extremos de la trayectoria.

● La velocidad es máxima en el punto de equilibrio, siendo su valor v_max = ω·A y su signo dependiente del sentido de movimiento.

● La aceleración tiene siempre sentido (signo) contrario a la posición.

● La aceleración se anula en el punto central de equilibrio.

● La aceleración es máxima en los extremos de la trayectoria, siendo su valor a_max = ω²·Ay su signo dependiente de la posición.

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