Condiciones iniciales. Dinámica de un M.A.S.. Curva de energía potencial

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Condiciones iniciales

Conociendo la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ en el instante t=0.

x₀=A·sinφ

v₀=Aω·cosφ

se determinan la amplitud A y la fase inicial φ

A= x 0 2 + v 0 2 ω 2    tan⁡ϕ= x 0 ω v 0

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F=ma=−m ω 2 x

Como la  fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial E_p.

∫ x 1 x 2 F·dx = E p1 − E p2 ∫ x 1 x 2 F·dx = ∫ x 1 x 2 −m ω 2 x·dx=− 1 2 m ω 2 x 2 | x 1 x 2 = 1 2 m ω 2 x 1 2 −1 2 m ω 2 x 2 2

La expresión de la energía potencial es

E p (x)= 1 2 m ω 2 x 2 +c

Donde c es cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energía potencial E_p=0 cuando el móvil está en el origen, x=0, por lo que c=0

La energía total E, es la suma de la energía cinética E_k y de la energía potencial E_p que es constante.

E= E k + E p = 1 2 m v 2 + 1 2 m ω 2 x 2 = 1 2 m ω 2 A 2 cos 2 (ω t+ϕ)+ 1 2 m ω 2 A 2 sin 2 (ω t+ϕ)= 1 2 m ω 2A 2

Curva de energía potencial

La función E p = 1 2 m ω 2 x 2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E_k>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=E_p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

F=− d E p dx =−m ω 2 x

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Puedes observar cómo la energía mecánica total es constante, variando sin embargo continuamente su naturaleza, transformando energía cinética en potencial elástica y viceversa.

Fíjate también en las gráficas de la energía que se muestran a continuación, donde se observa que la energía cinética es máxima en la posición central de equilibrio y nula en los extremos, mientras que la energía potencial elástica es máxima en los extremos del movimiento y se anula en la posición central de equilibrio.

La distribución de energías en cada momento puede encontrarse fácilmente al escribir la ecuación de la energía mecánica, que como recordarás del curso anterior, es igual a la suma de la energía cinética más la energía potencial. Sustituyendo los valores calculados en los apartados anteriores para las energías cinética y potencial en un m.a.s. :

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica sin² α + cos² α = 1, y que , para un oscilador armónico, , resulta:

La energía mecánica en un m.a.s. permanece constante, siendo su valor

Verificándose la conservación de la energía mecánica:

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