Задачи для самостоятельного решения

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 18 из 21Следующая ⇒

Задачи для самостоятельного решения

1. Мебельное предприятие использует 10 комплектов фурнитуры в день. Стоимость комплекта 50 ден. ед. Комплекты поставляются равномерно с интенсивностью 360 комплектов в месяц. Хранение одного комплекта фурнитуры в течение месяца обходится в 4 ден. ед. Доставка партии комплектов стоит 10+20S ден. ед., где S − количество комплектов в партии. При отсутствии фурнитуры предприятие несёт убытки в размере 4 ден. ед. за отсутствие одного комплекта в день. Определить общие затраты предприятия за месяц. Какую долю времени предприятие будет простаивать?

 2. Для проведения газосварочных работ на склад строительного треста регулярно поставляются баллоны с газом, по 35 баллонов в месяц. Газ расходуется равномерно в течение месяца по одному баллону в день. Хранение одного баллона обходится в 0,3 ден. ед в месяц, поставка партии баллонов стоит 20 ден. ед. При отсутствии одного баллона предприятие несёт убытки в 5 ден. ед. в день. Стоимость баллона газа равна 30 ден. ед. Определить количество поставок газа в течение года и общие затраты треста.

3.1.5. Многопродуктовая статическая модель

Пусть имеется n видов ресурсов. Планируемый период времени составляет T единиц, в течение которого необходимо Q_i единиц i-го ресурса. Потребление ресурсов происходит равномерно с интенсивностями
μ_i = Q_i /T, . Поставка каждого вида ресурса осуществляется мгновенно при достижении нулевого уровня его запаса. Заданы следующие параметры, характеризующие затраты: C_Pi − стоимость единицы i-го ресурса, C_Дi =С_i + С_1i S_i - стоимость поставки одной партии i-го ресурса,
C_Xi − стоимость хранения единицы ресурса в единицу времени. Если взаимодействие между ресурсами отсутствует, то оптимальные объёмы партий поставок и издержки можно рассчитать для каждого вида ресурса по формулам модели Уилсона. Общие издержки определятся как сумма издержек для всех видов ресурсов. При наличии взаимодействия его нужно отразить в модели в виде ограничения или системы ограничений.

В качестве примера взаимодействия между ресурсами рассмотрим ситуацию, когда общая складская площадь ограничена величиной P, а для хранения единицы i-го ресурса требуется p_i единиц складской площади. Если S_i – объём партии поставки i-го ресурса, то взаимодействие между ресурсами выразится в ограничении на складские площади , где h – нормировочный множитель, отражающий независимость поступления ресурсов во времени. . Если  h = 1, то поставки всех ресурсов осуществляются одновременно, при h= 0,5 поставки осуществляются в разное время, и имеем ограничение по среднему уровню запаса.

Для общих издержек получим

.

Для определения минимума издержек, с учётом ограничения на складские площади, составим функцию Лагранжа

,

где γ – неопределённый множитель Лагранжа. Возьмём частные производные функции Лагранжа по S_i , , и γ.

Из первых n уравнений находим

.

Подставим полученные выражения в последнее уравнение:

.

Получили уравнение относительно одного неизвестного γ. Его решение γ^* можно найти одним из методов безусловной оптимизации (метод дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи и т.д.). Затем определяем

,

и общие затраты .

Пример.В цех предприятия поступают полуфабрикаты пяти видов. Площадь склада 260 м². Все полуфабрикаты поставляются в цех одновременно. Без учёта стоимости полуфабрикатов требуется найти оптимальные партии поставок и общие издержки. Данные о потребностях в год, издержках и расходах площади представлены в таблице:

Полуфабрикат

С_Дi =С_i

ден. ед.

С_Хi

ден. ед.

p_i

м²

Q_i

т

S_i⁰

т

p_i S_i⁰

1,5

Решение. Здесь S_i⁰ − оптимальный размер партии поставки i-го полуфабриката, полученный по формуле модели Уилсона. Из последнего столбца, содержащего сведения о площадях для хранения полуфабрикатов, получим, что площадь необходимая для хранения поставляемых партий равна 460>260. По условиям примера T = 1, h = 1. Рассмотрим функцию

Функция φ(γ) монотонно убывающая. Поэтому существует только одно γ^*, удовлетворяющее уравнению φ(γ)=0. Решая уравнение методом дихотомии, получим γ^* =4. Имеем: S₁^*=14,1; S₂^*=16; S₃^*=24; S₄^*=20; S₅^*=16,9. Общие издержки составят

Если посчитать затраты без ограничений на складские площади, то получим

Т.е. недостаток складских площадей увеличивает издержки на 266,8 ден. ед.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману