Побудова епюр внутрішніх зусиль

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 16Следующая ⇒

ПРИКЛАД 1.1

Визначити головні центральні моменти інерції та моменти опору складеного поперечного перерізу, схема якого показана на рис. 1.2, побудувати еліпс інерції.

Рис. 1.2

1. Відповідно до заданої схеми окремо викреслюємо кожен елемент перерізу та визначаємо усі вихідні геометричні характеристики кожного елемента.

Для кутика і швелера геометричні характеристики виписуємо з таблиць сортаменту (ГОСТ 8240-72 та ГОСТ 8509-72), для пластини – обчислюємо за формулами прямокутника:

а) прямокутник 200х10 мм:

;

;

;

;

б) кутик рівнобічний 75х5:

;

;        

;

;

;

в) швелер № 18 (з нахилом внутрішніх граней полиць) :

;

;

;

.

Загальна площа поперечного перерізу:

.

2. Обираємо допоміжну систему координат та визначаємо положення центра ваги складеного поперечного перерізу.

Координати центра ваги визначаємо у допоміжній системі координат , яку обираємо дотичною до контуру перерізу так, щоб переріз знаходився у додатному квадранті.

Викреслюємо в масштабі схему поперечного перерізу, вказуємо положення центрів ваги і центральні осі кожного з елементів (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Визначення центра ваги перерізу

Обчислюємо координати центрів ваги елементів у допоміжній системі координат , тобто відстані до центрів ваги кожного з елементів від допоміжних осей:

Координати центра ваги перерізу:

На схемі перерізу (рис. 1.3) від допоміжних осей відкладаємо координати центра ваги  та  і проводимо центральні осі.

Визначаємо координати центрів ваги кожного елемента перерізу в центральній системі координат , тобто відстані між центральними осями перерізу та власними центральними осями кожного елемента:

Для переконання у правильності визначення положення центра ваги складеного перерізу перевіряємо умову рівності нулю статичного моменту площі перерізу відносно центральних осей.

.

Відносна похибка складає:

.

.

Відносна похибка складає:

.

Відносні похибки обчислення не перевищують допустиме значення.

3. Обчислюємо осьові та відцентровий моменти інерції перерізу відносно знайдених центральних осей.

Осьові та відцентровий моменти інерції перерізу обчислюємо за формулами паралельного переносу:

Візуально перевіряємо знак “+” відцентрового моменту інерції перерізу. Як видно з рис. 1.3, більша частина площі перерізу знаходиться в І-й та ІІІ-й чвертях, тобто добуток координат центрів ваги цих частин додатній.

4. Визначаємо величину та знак кута повороту, на який потрібно повернути центральну систему координат до набуття нею положення головної.

; .

Проводимо головні осі перерізу u, v, повертаючи відповідно центральні осі  та  на кут  в додатному напрямку (проти руху годинникової стрілки) (рис. 1.4).

Рис. 1.4

5. Обчислюємо головні центральні моменти інерції перерізу.

а)

б)

в)

Таким чином отримали головні моменти інерції перерізу , . Оскільки , повертаючи на кут  від осі , отримаємо вісь , а повертаючи від осі  – вісь .

Перевіряємо умову інваріантності осьових моментів інерції:

6. Обчислюємо головні радіуси інерції та будуємо еліпс інерції перерізу.

На головних центральних осях інерції будуємо еліпс з центром у центрі ваги перерізу і півосями, що дорівнюють головним радіусам інерції (рис. 1.4). При цьому радіуси інерції відкладаються перпендикулярно відповідній осі ( , ).

7. Користуючись побудованим еліпсом інерції, перевіряємо значення раніше обчислених моментів інерції відносно центральних осей.

Графічно визначаємо радіуси інерції  та , для чого опускаємо на центральні осі дотичні до еліпса перпендикуляри і вимірюємо довжини відрізків, які перпендикуляри відсікають на осях ,  
(рис. 1.4): , .

;

.

8. Обчислюємо головні моменти опору складеного перерізу.

За рис. 1.4 визначаємо відстані від найбільш віддалених точок перерізу до осей и та v. Найбільш віддалена від осі v точка А ( ), а від осі и – точка В ( ).

Обчислюємо головні моменти опору перерізу:

; .

ПРИКЛАД 1.2

Для поперечного перерізу, схема якого показана на рис. 1.5, визначити моменти інерції ,  та .

1. Переріз розбиваємо на три окремі елементи (прості фігури):

-

Рис. 1.5

- трикутник шириною  і висотою ;

- вирізаний півкруг радіусом .

Для елементів перерізу визначаємо геометричні характеристики відносно власних центральних осей.

а) прямокутник:

;

;

;

.

б) трикутник:

;

;

;

.

в) півкруг :

;

;

.

Оскільки півкруг вирізаний, його площу та моменти інерції в подальшому враховуємо зі знаком «–».

2. Задані осі у та z паралельні власним центральним осям елементів перерізу, тому моменти інерції перерізу відносно осей у та z обчислюємо за формулами паралельного переносу.

Знаходимо відстані між заданими осями та власними центральними осями елементів перерізу (рис. 1.6):

Рис. 1.6

ПРИКЛАД 1.3

Для поперечного перерізу, схема якого показана на рис. 1.7, визначити моменти інерції ,  та .

Рис. 1.7

а) двотавр № 24:

;

;

;

.

б) кутик 100х10:

;

;

;

;

2. Обчислюємо моменти інерції перерізу відносно допоміжних осей . Допоміжні осі (рис. 1.8) приймаємо паралельними власним центральним осям елементів перерізу з початком координат на перетині заданих осей L, K.

Рис. 1.8

Визначаємо відстані між допоміжними осями та власними центральними осями елементів перерізу (рис. 1.8):

3. Обчислюємо моменти інерції перерізу відносно заданих осей LOK, повернутих відносно допоміжних осей за годинниковою стрілкою на кут :

Загальні зауваження

У перерізах довільно навантаженого стержня виникають внутрішні напруження. Зібрані по площі поперечного перерізу, вони характеризують внутрішні зусилля, що виникають у поперечних перерізах стержня. Для визначення внутрішніх зусиль у перерізі стержня застосовуємо „метод перерізів”. Він полягає у тому, що стержень умовно розрізається площиною на дві частини, кожна з яких знаходиться у рівновазі під дією зовнішнього навантаження та внутрішніх зусиль, які діють у площині поперечного перерізу. У загальному випадку в площині перерізу виникає головний вектор внутрішніх зусиль та головний момент.

У практичних розрахунках завжди використовуються проекції головного вектора та головного моменту на осі головної системи координат (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Величини внутрішніх зусиль визначаються з умов рівноваги однієї з відсічених частин стержня.

Для визначення дійсного напрямку внутрішнього зусилля потрібно з’ясувати його знак. Знак внутрішнього зусилля залежить від знаку нормалі до площини перерізу, що розглядається. Вважаємо, що нормаль буде додатною, якщо її напрямок співпадає з додатним напрямком відповідної осі. Тоді знаки внутрішніх зусиль потрібно визначати за таким правилом.

Поздовжнє –  та поперечні – ,  внутрішні зусилля вважаються додатними, якщо у перерізі з додатною нормаллю їх напрямок співпадає з додатним напрямком відповідної осі.

Згинальні моменти   та   вважаються додатними, якщо розтягують волокно стержня з додатного напрямку осі.

Момент кручення  вважається додатним, коли з напрямку нормалі його поворот бачимо проти руху годинникової стрілки.

На рис. 2.1 вказані всі додатні напрямки внутрішніх зусиль у поперечному перерізі відсіченої частини стержня.

Постановка задачі

Для кожного стержня, заданого розрахунковою схемою, визначити величини та напрямки внутрішніх зусиль та побудувати їх епюри.

Вихідні дані

За особистим шифром з дод. 2 вибрати лінійні розміри стержня, величини навантажень та номер розрахункової схеми.

План виконання роботи

1. Відповідно до завдання, накреслити у масштабі розрахункову схему стержня. Вказати величини діючих навантажень та числові значення лінійних розмірів.

2. Обчислити величини діючих опорних реакцій.

3. Визначити характерні перерізи та вузлові точки вздовж осі стержня.

4. Обчислити величини та визначити знаки внутрішніх зусиль у зазначених точках стержня.

5. Побудувати епюри внутрішніх зусиль.

6. Перевірити правильність побудованих епюр.

Рекомендації до виконання РГР

1. У наведених в додатку схемах замість реального стержня зображено його вісь у вигляді лінії (прямої, ламаної або кривої), з літерними позначеннями довжин ділянок та прикладених навантажень. При складанні розрахункової схеми на її кресленні потрібно літерні позначення замінити на задані цифрові величини. Для уникнення спотворення характеру епюр, креслення обов’язково потрібно виконувати у масштабі.

У випадках, коли напрямок заданого навантаження не збігається з напрямками осей системи координат, потрібно визначити проекції цього навантаження на відповідні осі та вказати їх числові значення.

2. У заданих схемах стержнів зустрічаються такі види опор:

а) шарнірно-рухома опора – має одну в’язь, в якій виникає опорна реакція, перпендикулярна до опорної площини (рис. 2.2 а) або спрямована вздовж опорного стержня (рис. 2.2 б);

б) шарнірно-нерухома опора – має дві в’язі, в яких виникають дві лінійні опорні реакції – вздовж та перпендикулярно осі стержня
(рис. 2.2 в);

в) жорстке закріплення – обмежує можливість опори рухатись у двох напрямках та обертатись навколо точки опори. У такій опорі виникають дві лінійні реакції та реактивний (згинальний) момент (рис. 2.2.г).

                а      б                в          г

Рис. 2.2

У консольних стержнях (таких, що жорстко закріплені з одного краю) опорні реакції можна не визначати. Внутрішні зусилля у поперечних перерізах таких стержнів визначають, рухаючись з вільного краю (консолі) до жорсткого закріплення, розглядаючи завжди рівновагу відсіченої консольної частини стержня.

Для всіх інших варіантів закріплення стержнів потрібно визначати опорні реакції з умови статичної рівноваги стержня. Попередній напрямок опорних реакцій при складанні рівнянь рівноваги обирається довільно. Якщо у розрахунках знайдена реакція має від’ємний знак, це свідчить про її протилежний напрямок. На розрахунковій схемі потрібно вказувати тільки дійсні напрямки діючих навантажень та опорних реакцій.

Для балок із наскрізними шарнірами, крім звичайних рівнянь рівноваги потрібно додатково складати рівняння рівності нулю суми моментів усіх сил, що діють ліворуч або праворуч від шарніра:

або .

Також опорні реакції для балок із наскрізними шарнірами можна визначати, застосовуючи метод „поверхів”. Застосовуючи цей метод, потрібно завжди першою розглядати ту частину балки, яка внаслідок „розрізання” набуває степеня вільності.

3. Характерними перерізами (або точками) стержня є границі ділянок, у межах яких закон зміни внутрішніх зусиль залишається постійним. Відповідно, такими точками є:

- початок і закінчення стержня;

- точки, в яких прикладені зосереджені навантаження (сили, моменти, опорні реакції);

- точки початку, закінчення або зміни інтенсивності розподіленого навантаження;

- точки диференціальних залежностей.

Вузлом називаємо таку точку, в якій з’єднуються декілька стержнів або вісь стержня зламується, змінюючи напрямок. У вузлі стержня завжди потрібно перевіряти умову рівноваги.

4. Внутрішні зусилля у характерних перерізах можна обчислювати за допомогою складання рівнянь рівноваги відсіченої частини стержня. При складанні рівнянь для кожної ділянки стержня потрібно вказати границі зміни координати  та, відповідно до наведених рекомендацій та правила знаків, скласти рівняння для кожного внутрішнього зусилля як функцію координати .

Складаючи рівняння, потрібно пам’ятати про існуючі диференціальні залежності між зовнішнім навантаженням та внутрішніми зусиллями:

,                                                                 

,                                        (2.1)

,                                                       

Отже, враховуючи диференціальні та інтегральні залежності між діючим навантаженням та внутрішніми зусиллями, можна впевнено визначити графік функції внутрішніх зусиль на кожній ділянці стержня. Виходячи з цього, більш раціональним є обчислення внутрішніх зусиль у характерних перерізах без складання рівнянь. Отримані результати використовуємо для побудови епюр внутрішніх зусиль.

5. Оскільки епюра внутрішнього зусилля – це графік, який відображає закон зміни величини та напрямку цього зусилля по довжині стержня, до епюри застосовують такі ж вимоги, як і до графіків. Епюри будують кожну окремо у масштабі на осьових лініях, які паралельні осі стержня (базах епюри). Обчислені у характерних перерізах значення  є ординатами епюр відповідних внутрішніх зусиль. Ординати епюр відкладають перпендикулярно базі епюри у площині діючого навантаження. Обов’язковою є вимога будувати епюри згинальних моментів з боку розтягнутого волокна.

6. Перевірку правильності побудованих епюр виконуємо на основі диференціальних залежностей:

Характер діючого навантаження обумовлює вигляд епюр  та :

- значення поперечної сили є тангенсом кута нахилу епюри згинальних моментів;

 - знак епюри  вказує на зростання або зменшення значень епюри згинальних моментів;

- нульові значення епюри  вказують на наявність екстремумів в епюрі .

Також потрібно пам’ятати, що у перерізах, де прикладені зосереджені сили, в епюрі  відбуваються стрибки на величину та у напрямку діючої сили, а в епюрі – злами у напрямку діючої сили. Стрибки в епюрі  відбуваються у точках прикладання зосереджених моментів.

Для перевірки епюр у стержнях, що мають вузлові точки, обов’язково потрібно розглядати умову рівноваги вузла.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов