Растровое преобразование графических примитивов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 43Следующая ⇒

Стереографическая проекция

Важное свойство любой карты — сохранение углов (угол между любыми двумя линиями на карте должен быть таким же, как угол между прообразами этих линий на земной поверхности). Сохранение углов особенно важно для мореплавания и аэронавтики, так как оно означает, что наблюдаемый угол между любыми двумя ориентирами равен углу, измеряемому на карте с помощью транспортира. Кроме того, на такой карте остаются неизменными и площади малых областей. Карты, сохраняющие углы, называются конформными. Проще всего построить конформную карту с помощью стереографической проекции.

На рис. 5.8 показано, как поверхность сферы в точке Х проецируется из точки А (принадлежащей сфере) на плоскость, касательную к сфере в диаметрально противоположной точке (антипод точки А). Проекция называется экваториальной, полярной или косой в зависимости от того, где находятся антиподы: на экваторе, полюсах или в какой-нибудь другой точке земной поверхности соответственно. К сожалению, конформность вызывает искажение масштаба, возрастающее с увеличением расстояния от центра карты.

Рис. 5.8. Три проекции

Обозначим за долготу и дополнение до широты точки на сфере буквами  и  соответственно, , , а через x и y — координаты проекций этой точки в некоторой декартовой системе координат, заданной на плоскости проекции. Соответствующие формулы проецирования для Северного полушария имеют следующий вид:

Здесь и в дальнейшем радиус считается равным единице. Ось X направлена вдоль меридиана 135°.

Гномоническая проекция

Отображение точки Х из центра земного шара В на плоскость карты в точку В' порождает гномоническую проекцию (рис. 5.8). Проекция получила такое название, так как она напоминает конструкцию солнечных часов с гномоном. Любая дуга большого круга на поверхности земного шара переходит в прямую на гномонической карте. Большим кругом называется окружность на сфере, плоскость которой проходит через ее центр. Такая карта не обладает конформностью, но навигаторы ценят ее за одно важное свойство, отсутствующее у всех других проекций сферы на плоскость: прямая между любыми двумя точками на гномонической карте является геодезической, или кратчайшей дугой между этими двумя точками и соответствует дуге большого круга на поверхности Земли.

Ортографическая проекция

Если центр проекции находится в бесконечности (все проецирующие лучи параллельны), то проекция будет ортографической (рис. 5.8). Например, глядя на Луну с Земли, наблюдатель видит Луну практически в ортографической проекции. У края ортографической карты расстояния сильно искажены. Ортографическая карта не сохраняет ни площадей, ни углов, но, выполненная достаточно искусно, создает сильную иллюзию шарообразной Земли. Карты, начерченные с точки зрения наблюдателя, находящегося над земной поверхностью, не точны в передаче многих ее свойств, но наиболее верно соответствуют нашему зрительному восприятию сферы.

Эта проекция получается при проецировании на плоскость, касательную к сфере в центре изображаемого явления ( ), с помощью лучей, перпендикулярных этой плоскости. Формулы этой проекции следующие:

Проекции на цилиндр

Поверхность сферы также можно проецировать на цилиндры и конусы, «надетые» на сферу. После построения цилиндрической или конической проекции, поверхность разрезается и развертывается на плоскость.

Лучи, проецирующие земной шар на цилиндр, выбираются такие, чтобы они были параллельны плоскости, высекающей окружность, по которой сфера и цилиндр соприкасаются (рис. 5.9.) Если цилиндр касается Земли вдоль экватора, то все меридианы и параллели на карте переходят в прямые, пересекающиеся под прямыми углами.

Рис. 5.9. Метод цилиндрической проекции с сохранением площадей

Цилиндрическая карта не всегда обладает конформностью и может сильно искажать расстояния и форму областей. Отметим, что ни одна карта не может одновременно быть конформной и сохранять площади. Было предложено огромное число других проекций, сохраняющих площадь; в современных атласах чаще всего встречаются сохраняющие площади карты, построенные с помощью цилиндрической проекции, предложенной Карлом Б. Мольвейде в 1805 г.

Проекция Меркатора

В XVI веке фламандский картограф Герхард Меркатор создал знаменитую цилиндрическую проекцию, обладающую свойством конформности. Конформность в проекции Меркатора достигается за счет растягивания цилиндра за полюсы, при этом в верхней и нижней части этого цилиндра масштаб становится очень искаженным. Несмотря на это, данная проекция обладает одним замечательным свойством, очень нужным для навигаторов: прямая проведенная через любые две точки на карте является локсодромой, или линией постоянного румба. Локсодрома на сфере или какой-либо другой поверхности вращения пересекает все меридианы под постоянным углом (рис. 5.10).

Проекция Меркатора задается следующими формулами:

Рис. 5.10. Конформная проекция Меркатора. На карту нанесены локсодромы из Нью-Йорка

Проекции на многогранник

Будем называть разрезанной карту мира, спроецированную на тот или иной узор из каких-либо многоугольников. После складывания этих фрагментов образуется карта с разрывами любой части земного шара. Одну такую конформную карту составил философ и математик Ч. Пирс. Земная поверхность спроецирована на этой карте на восемь равнобедренных треугольников, которые можно рассматривать как грани октаэдра, сплющиваемого до тех пор, пока длина его пространственной диагонали не обратится в нуль. Вершинам нулевой диагонали на карте Пирса соответствуют северный и южный полюсы.

Аналогичная идея пришла в голову выдающемуся экономисту из Йельского университета Ирвингу Фишеру: он задумал осуществить гномоническую проекцию поверхности Земли на 20 треугольных гранях икосаэдра (рис. 5.11). Икосаэдр является наиболее близким к идеалу многогранником для разрезания «на карты».

Рис. 5.11. «Линкаглобус» И. Фишера, складывающийся в икосаэдр

Необычные проекции

Картографы придумывали самые разнообразные виды проекций, порой удивительно выглядящие и при этом обладающие довольно неплохими свойствами. Одну из таких карт в форме кардиоиды (сердца) придумал Иоганн Вернер. Эта карта сохраняет площади. Она пользовалась широкой известностью в XVI в., но сейчас ей уже давно не пользуются. В отчете о картографических курьезах, написанном для внутреннего пользования фирмы «Лаборатории Белла», математик Эдгар Н. Гильберт пишет: «…незаслуженно забыта. Сильно искаженные части карты лежат далеко от основных масс суши. Искривленные параллели придают карте приятную иллюзию округлости... Параллели представляют собой дуги окружностей, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, с центром в северном полюсе. Меридианы, проведенные для указа­ния расстояний вдоль параллелей, такие же, как на сфере».

Скопление материков на карте Вернера отражает неравномерное распределение суши по поверхности Земли. Тихий океан столь велик, что если смотреть на Землю из точки, расположенной над проливом Ла-Манш, то взгляду откроется около 80% всей суши, а противопо­ложное полушарие будет почти сплошь покрыто водой.

Рис. 5.12. Поликоническая картографическая проекция.

Довольно необычна поликоническая картографическая проекция — картографическая проекция, строящаяся с помощью ряда конусов, касательных к земному эллипсоиду (шару). В поликонической картографической проекции параллели нормальной сетки — дуги эксцентрических окружностей, осевой меридиан — прямая, на которой расположены центры параллелей, а остальные меридианы — кривые (рис. 5.12).

5.4. Вопросы и упражнения

1. Назовите два основных вида проекций, определяемых типом пучка лучей.

2. Назовите четыре вида параллельных проекций.

3. Сколько шагов в алгоритме ортогональной проекции на произвольную плоскость?

4. Какой вид имеет матрица косоугольной проекции на плоскость XOY, переводящей вектор  в вектор ?

5. Напишите формулы преобразования координат при центральной проекции на плоскость XOY с центром в точке . Как выглядит матрица такой проекции в однородной системе координат?

6. Что такое перспективное укорачивание?

7. Что такое точка схода?

8. Как реализуется проекция с тремя точками схода?

9. Каким свойством обладает конформная проекция?

10. Каким свойством обладает цилиндрическая проекция?

11. В чем ценность проекции Меркатора?

12. Какой многогранник наиболее удобен для построения разрезанных карт?

Экран растрового дисплея можно рассматривать как матрицу дискретных элементов, или пикселей. Процесс определения пикселей, наилучшим образом аппроксимирующих некоторую геометрическую фигуру, называется разложением в растр, или построением растрового образа фигуры. Построчная визуализация растрового образа называется растровой разверткой данной фигуры.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры