Представление геометрической информации
2.10. Вопросы и упражнения
1. Дайте определение декартовой системы координат.
2. Что такое вектор?
3. Какие векторы считаются равными?
4. Какие векторы называются линейно независимыми?
5. Как выразить длину вектора, используя операцию скалярного произведения?
6. Как определить косинус угла между векторами, используя операцию скалярного произведения?
7. Докажите, что векторное произведение удовлетворяет соотношению:
 .
8. Как из произвольного вектора  получить единичный вектор, совпадающий с ним по направлению? (Эта операция называется нормировкой вектора).
9. Каково максимальное число линейно независимых векторов в пространстве?
10. Что такое орты?
11. Как построить параметрическое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости или пространства?
12. Докажите, что если в формуле (3.7) заменить координаты  координатами любой другой точки плоскости, то уравнение будет описывать ту же самую плоскость. Указание: возьмите произвольную точку, удовлетворяющую уравнению (3.7), напишите новое уравнение плоскости и покажите, что любая точка второй плоскости принадлежит первой и наоборот.
13. В каких случаях луч с плоскостью не пересекаются?
14. В каких случаях луч пересекает сферу только в одной точке?
15. Исходя из определения умножения матрицы на вектор, докажите, что для любых двух векторов  и любой матрицы  справедливо соотношение
 .
16. Докажите, что для любого вектора  , числа  и матрицы справедливо соотношение
 .
17. При каком условии масштабирование сохраняет углы между отрезками?
18. Какую траекторию описывают точки объекта при повороте?
19. Вокруг чего осуществляется поворот на плоскости?
20. Вокруг чего осуществляется поворот в пространстве?
21. Какие шаги выполняются в алгоритме поворота относительно произвольной оси в пространстве?
22. Докажите, что если матрица является матрицей поворота, то  .
|
