Системы координат и векторы на плоскости и в трёхмерном пространстве

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 43Следующая ⇒

Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения из аналитической геометрии и линейной алгебры. Не ставя перед собой задачу подробного рассмотрения всех этих вопросов, приведем (или напомним) те основные понятия и операции, которые используются в алгоритмах компьютерной графики.

Две взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости.Точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую — осью OY, или осью ординат. Эти оси также называют координатными осями.

Возьмем произвольную точку M на плоскости с заданной системой координат. Пусть M_x и M_y — проекции этой точки на оси абсцисс и ординат соответственно, причем длина отрезка OM_x равна x, а длина OM_y равна y. Тогда пара чисел  называется декартовыми координатами точки M на плоскости (абсциссой и ординатой точки).

Три взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые с заданным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве.Так же, как и в случае плоскости, точка пересечения O называется началом координат, прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью OX, или осью абсцисс, другую — осью OY, или осью ординат, третью — осью OZ, или осью аппликат.

Пусть M_x , M_y и M_z — проекции произвольной точки M в пространстве на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно, причем длина отрезка OM_x равна x, длина OM_y равна y, а длина OM_z равна z. Тогда тройка чисел  называется декартовыми координатами точки M в пространстве (абсциссой, ординатой и аппликатой точки).

Рис. 2.1. Система координат
на плоскости

Рис. 2.2. Система координат
в пространстве

Пусть на плоскости задана декартова система координат. Возьмем две точки с координатами  и  соответственно. Тогда, используя терему Пифагора, можно получить, что расстояние между этими двумя точками выражается формулой

.

Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами  и  выражается аналогичной формулой:

.

Отрезок на плоскости и в пространстве задается с помощью двух точек, указывающих его границы. Геометрическим вектором, или просто вектором в пространстве, будем называть отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом (т. е. указано направление вектора). Начало вектора называют точкой его приложения. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Векторы называются колинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Векторы считаются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, все векторы, получающиеся параллельным переносом из одного и того же вектора, равны мeжду собой. Любая точка на плоскости и в пространстве может рассматриваться как вектор, начало которого совпадает с началом координат (радиус-вектор), а каждый вектор, перенесенный в начало координат задает своим концом единственную точку пространства. Поэтому любой вектор может быть представлен совокупностью своих координат в декартовой системе.

Линейными операциями над векторами принято называть операции сложения векторов и операцию умножения вектора на число.

Суммой двух векторов  и называется вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Перечислим основные свойства операции сложения векторов.

· ;

· ;

· Существует нулевой вектор , такой, что  для любого вектора ;

· Для каждого вектора  существует противоположный ему вектор , такой, что .

Разностью двух векторов  и называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор .

Произведением вектора  на число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину , и направление, совпадающее с направлением вектора  при  и противоположное направлению при . Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что длина вектора увеличивается в  раз.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

·  (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов);

·  (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел);

·  (сочетательное свойство числовых сомножителей);

· если вектор  колинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число β, такое, что .

Линейной комбинацией векторов  и  называется вектор . При этом числа  и  называются коэффициентами разложения вектора  по векторам  и .

Если два вектора  и  заданы своими координатами  и , то операции над ними легко выразить через эти координаты:

· ;

· ;

· .

Векторы ,  и  называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае равенства нулю коэффициентов  и .

Справедливы следующие свойства.

· Каковы бы ни были неколинеарные векторы  и , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с ними, существуют числа  и , такие, что , причем такая пара чисел для каждого вектора единственная. Такое представление вектора  называется разложением по векторам  и .

· Каковы бы ни были некомпланарные векторы ,  и , для любого вектора  существуют числа ,  и , такие, что , причем эта тройка чисел для каждого вектора единственная (разложение вектора  по векторам , , .

· Любые три вектора в системе координат плоскости являются линейно зависимыми.

· Любые четыре вектора в системе координат пространства являются линейно зависимыми.

Говорят, что пара линейно независимых векторов на плоскости (тройка линейно независимых векторов в пространстве) образуют базис, поскольку любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Коэффициенты разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным, а векторы базиса называются ортами. Таким образом, базис из единичных векторов, направленных вдоль осей декартовой системы координат, является ортонормированным.

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Будем обозначать скалярное произведение векторов символом . Тогда скалярное произведение можно выразить формулой

.

Несложно доказать следующие свойства данной операции.

· Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

· Если угол между двумя векторами острый, то скалярное произведение этих векторов положительно, если же угол тупой, то скалярное произведение отрицательно.

·  (свойство коммутативности).

·  (сочетательное относительно числового множителя свойство).

·  (распределительное относительно суммы векторов свойство).

· Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора.

Приведем некоторые формулы, связанные с разложением вектора в декартовой системе координат.

Пусть векторы  и  заданы своими координатами  и . Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.                                (2.1)

Отсюда следует условие перпендикулярности векторов:

.

И, наконец, косинус угла между векторами вычисляется по формуле

.                                      (2.2)

Теперь расстояние между двумя точками с координатами  и  можно выразить через скалярное произведение соответствующих векторов:

.

Введем еще одно понятие, касающееся векторов. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим. При записи тройки векторов будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись  означает, что первым вектором тройки является вектор , вторым — , третьим — .

Тройка векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор  располагается по ту сторону от плоскости, содержащей векторы , , откуда кратчайший поворот от  к  кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , обозначаемый символом  и удовлетворяющий следующим требованиям:

· длина вектора  равна произведению длин векторов ,  на синус угла между ними, т. е. ;

· вектор  ортогонален векторам , ;

· вектор  направлен так, что тройка векторов  является правой.

· Приведем (без доказательства) основные свойства векторного произведения.

·  (антисимметричность);

·  (сочетательное свойство относительно умножения на число);

·  (распределительное свойство относительно сложения);

·  для любого вектора .

Ясно, что векторное произведение двух коллинеарных векторов дает нулевой вектор. Выведем теперь формулy для векторного произведения. Пусть базисные векторы декартовой системы координат  образуют правую тройку. Тогда справедливы следующие соотношения:

Если заданы два вектора  и , то, учитывая свойства векторного произведения, отсюда легко вывести, что

,

где

.           (2.3)

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности