Задача вращения относительно произвольной оси
Вращение относительно произвольной оси также можно реализовать посредством умножения матрицы на вектор, но предварительно эту матрицу надо построить. Предположим, что прямая проходит через начало координат и задана единичным вектором  , и требуется выполнить поворот точки на угол  относительно нее. Для этого воспользуемся следующим алгоритмом.
I. Совместим прямую с осью OZ посредством поворота системы координат относительно оси OX на угол  , а затем поворота относительно оси OY на угол  .
II. Выполним поворот относительно оси OZ на угол .
III. Выполним повороты системы сначала относительно оси OY на угол  , а затем относительно оси OX на угол  (в обратном порядке по отношению к первым поворотам), тем самым возвращая ее в исходное положение.
Итоговая матрица преобразования таким образом является произведением нескольких матриц, а именно
 .
Матрицы  являются матрицами преобразования координат при поворотах системы координат, как было показано в предыдущем разделе. Определим сначала угол , который является углом между осью OZ и его проекцией вектора  на плоскость YOZ  . Пусть  — длина этой проекции. Тогда  ,  (синус отрицателен, поскольку поворот идет от оси OZ к оси OY, т. е. в отрицательном направлении). После поворота системы координат новыми координатами вектора будут  . Угол — это угол между векторами  и , поэтому  ,  . Теперь мы можем выписать вид матриц преобразования координат для каждого шага алгоритма, учитывая то, что матрицы преобразования координат при повороте системы координат обратны по отношению соответствующим матрицам вращения.
 .
Нетрудно убедиться, что последовательное умножение матриц  и  на вектор дадут в результате вектор  , т. е. этот вектор действительно станет осью аппликат.
Остается только выписать окончательный вид матрицы  (для сокращения записи введем следующие обозначения:  ,  ,  ):
 . (2.21)
Напомним, что  являются направляющими косинусами прямой, относительно которой выполняется поворот. Нетрудно убедиться, что если в качестве осей вращения взять оси координат, то мы в точности получим формулы (2.18).
|
