Аналитическое представление кривых и поверхностей
Пусть на плоскости задана декартова система координат.
Кривая на плоскости — это геометрическое место точек  , удовлетворяющих уравнению
 , (2.8)
где  — функция двух переменных. Ясно, что далеко не каждая функция будет задавать линию. Так, например, уравнению
не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению
удовлетворяет только одна точка  .
Для аналитического представления кривой во многих случаях удобнее задавать кривую параметрическими уравнениями, используя вспомогательную переменную (параметр)  :
 , (2.9)
где  и  — непрерывные функции на заданном интервале изменения параметра. Если функция  такова, что можно выразить через  (  ), то от параметрического представления кривой легко перейти к уравнению (3.10):
 .
Систему уравнений (2.9) можно записать в векторном виде:
 .
Отрезок прямой представляет собой частный случай кривой, причем параметрическое представление его может иметь вид
или
 .
Окружность радиуса  с центром в точке  может быть представлена параметрическими уравнениями
 .
Перейдем к трехмерному пространству с заданной декартовой системой координат.
Поверхность в пространстве — это геометрическое место точек  , удовлетворяющих уравнению вида
 . (2.10)
Так же, как и в случае кривой на плоскости, не всякая функция описывает какую-либо поверхность. Например, уравнению
не удовлетворяет ни одна точка пространства. Поверхность также может быть задана в параметрическом виде, но в отличие от кривой для этого требуются две вспомогательные переменные (параметры):
 . (2.11)
Например, сфера радиуса с центром в точке  может быть задана уравнением
либо же параметрическими уравнениями
 .
Кривую в пространстве можно описать как пересечение двух поверхностей, т. е. с помощью системы уравнений
 (2.12)
или параметрическими уравнениями вида
 . (2.13)
|
