Пересечение луча с плоскостью и сферой
Прямая на плоскости и в пространстве является бесконечной в обе стороны. Лучом называется полупрямая, т. е. множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от заданной ее точки, называемой началом луча. Луч будем задавать в параметрическом виде, как это было описано в одном из предыдущих разделов. Пусть  — направляющий вектор прямой, а  — начальная точка. Тогда координаты точек, принадлежащих лучу, будут определяться формулами
 , . (2.14).
Будем считать, что направляющий вектор единичный, т. е.  .
Сначала рассмотрим задачу о нахождении точки пересечения луча с плоскостью, заданной каноническими уравнением
 . (2.15).
Вектор нормали  тоже будем считать единичным. Сначала надо определить значение параметра t, при котором луч пересекает плоскость. Для этого подставим координаты из формулы (2.14) в уравнение (2.15) и получим
 ,
откуда легко определить, что луч пересекает плоскость в точке со значением
 ,
если эта величина положительна. Очевидно, что такая точка существует только при условии  . В свою очередь, эта величина обращается в нуль только в случае, когда векторы  и  ортогональны друг другу.
Пусть теперь нам задана сфера с центром в точке  и радиусом d. Тогда уравнение сферы будет иметь вид
 .
Подставив сюда координаты луча из уравнения (3.9), получим, что параметр, при котором луч пересекает сферу, должен удовлетворять квадратному уравнению
 ,
где  ,  ,  . Определим корни этого уравнения. Если дискриминант  , то корни существуют. Их может быть либо два (D>0), либо один (D=0). В первом случае имеем две точки пересечения, во втором одну (луч касается сферы). Соответствующие значения параметра определяются соотношением
 ,
причем учитывается только положительное значение.
|
