Специальные картографические проекции. Экзотические проекции земной сферы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 22 из 43Следующая ⇒

5.1. Основные типы проекций

В математическом смысле проекции — это преобразования точек пространства размерности n в точки пространства размерности меньшей, чем n, или, как еще говорят, на подпространство исходного пространства. В компьютерной графике рассматриваются преимущественно проекции трехмерного пространства образа на двумерную картинную плоскость. Проекция трехмерного объекта, представленного в виде совокупности точек, строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.

Определенный таким образом класс проекций называют плоскими геометрическими проекциями, поскольку проецирование в этом случае производится на проекционную плоскость и в качестве проекторов используются прямые. Существуют и другие проекции, в которых проецирование осуществляется на криволинейные поверхности или же проецирование осуществляется не с помощью прямых (такие проекции используются, например, в картографии).

Следует отметить, что, приводя иллюстрации к данной главе, мы вынуждены использовать те же самые проекции, методы построения которых собираемся описать. Хочется надеяться, что материал из-за этого не будет выглядеть более неясным, чем при отсутствии рисунков.

Рис. 5.1. Проекция параллельным пучком лучей

Рис. 5.2. Центральная проекция

Плоские геометрические проекции подразделяются на два основных класса: центральные и параллельные. Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние от центра проекции до плоскости конечно, то проекция будет центральной, если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной. Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем ее центр проекции, а в случае параллельной проекции мы указываем только направление проецирования. На рис. 5.1 и 5.2 показаны две различные проекции одного и того же отрезка, а также проекторы, проходящие через его конечные точки. Поскольку проекция отрезка сама является отрезком, то достаточно спроецировать одни лишь конечные точки и соединить их.

Центральная проекция порождает визуальный эффект, аналогичный тому, к которому приводят фотографические системы или зрительная система человека, и поэтому используется в случаях, когда желательно достичь определенной степени реалистичности. Этот эффект называется перспективным укорачиванием: по мере увеличения расстояния от центра до объекта размер получаемой проекции уменьшается. Это, с другой стороны, означает, что хотя центральная проекция объектов является реалистичной, она оказывается непригодной для представления точной формы и размеров объектов: из проекции нельзя получить информацию об относительных расстояниях; углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости; проекции параллельных линий в общем случае не параллельны. Так, при центральной проекции куба в большинстве случаев мы получаем картину, вообще не имеющую параллельных отрезков.

Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, поскольку отсутствует перспективное укорачивание, хотя при этом могут иметь место различные постоянные укорачивания вдоль каждой из осей. Проекция фиксирует истинные размеры (с точностью до скалярного множителя), и параллельные прямые остаются параллельными. Как и в случае центральной проекции, углы сохраняются только на тех гранях объекта, которые параллельны проекционной плоскости.

Параллельные проекции

Параллельные проекции разделяются на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости. Если эти направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости, то проекция называется ортографической. Если же проекторы не ортогональны к проекционной плоскости, то проекция называется косоугольной.

Рис. 5.3. Ортографические проекции

В инженерной графике наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются вид спереди, вид сверху (план) и вид сбоку, в которых проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим вследствие этого с направлением проецирования (рис. 5.3). Поскольку каждая проекция отображает лишь одну сторону объекта, часто совсем непросто представить себе пространственную структуру проецируемого объекта, даже если рассматривать сразу несколько проекций одного и того же объекта. Но тем не менее такие чертежи позволяют определять реальные размеры объекта.

В случае аксонометрических ортографических проекций используются проекционные плоскости, не перпендикулярные главным координатным осям, поэтому на них изображается сразу несколько сторон объекта, так же как и при центральном проецировании, однако в аксонометрии укорачивание постоянно, тогда как в случае центральной проекции оно связано с расстоянием от центра проекции. При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояния же можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).

Рис. 5.4. Изометрическая проекция

Аксонометрические проекции подразделяются на три группы в соответствии с расположением проекционной плоскости по отношению к осям координат. Если нормаль к проекционной плоскости образует три различных угла с осями, то проекция называется триметрической (триметрией). Если два из этих углов одинаковы, то получаем диметрическую проекцию (диметрию). И, наконец, если все три угла равны между собой, то проекция называется изометрической (изометрией). Изометрическая проекция обладает тем свойством, что все три главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом (отсюда название: изо, что означает «равно», и метрия — «измерение»). Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (рис. 5.4).

Косоугольные проекции также являются параллельными, причем проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси. Сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерять углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Мы коснемся только двух наиболее часто используемых косоугольных проекций, которые в отечественной практике эти проекции называют горизонтальной косоугольной изометрией и кабинетной проекцией.

Рис. 5.5. Горизонтальная косоугольная изометрия (а) и кабинетная проекция (б)

В проекции горизонтальной косоугольной изометрии направление проецирования составляет с плоскостью угол 45°. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует (рис. 5.5 a). Кабинетная проекция имеет направление проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол . При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины, что более соответствует нашему визуальному опыту, поэтому изображение выглядит более реалистично (рис. 5.5 b).

Центральные проекции

Когда пучок проекторов исходит из заданного центра проекции, то параллельные отрезки на плоскости проекции уже не будут параллельными, за исключением случая, когда они лежат в плоскости, параллельной проекционной. При проецировании нескольких параллельных прямых их проекции пересекаются в так называемой точке схода. Если совокупность прямых параллельна одной из координатных осей, то их точка схода называется главной. Таких точек может быть не больше трех. Например, если проекционная плоскость перпендикулярна оси OZ, то лишь на этой оси будет лежать главная точка схода, поскольку прямые, параллельные как оси OX, так и OY, параллельны также и проекционной плоскости и поэтому не имеют точки схода.

Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно, и от числа координатных осей, которые пересекает проекционная плоскость. На рис. 5.6 приведены три различные одноточечные проекции куба, причем две из них имеют одну точку схода, а третья — две точки.

Рис. 5.6. Одноточечные и двухточечная проекции

Двухточечная центральная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании и в рекламных изображениях, в которых вертикальные прямые проецируются как параллельные и, следовательно, не сходятся. Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во-вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.

5.2. Математический аппарат

Для выполнения проективных преобразований будем использовать однородные координаты и матрицы преобразований, рассмотренные ранее в главе 4. Проекция выполняется в системе координат наблюдателя.

Ортогональные проекции

Сначала рассмотрим математическое описание параллельных проекций как более простых. Случай, когда картинная плоскость перпендикулярна оси OZ и задается уравнением  (т. е. ортографическая проекция), фактически уже рассматривался в главе 4, где был приведен вид матриц проекции на координатные плоскости.

Случай аксонометрической проекции сводится к последовательности преобразований, подобно тому, как осуществлялся поворот в пространстве относительно произвольной оси. Пусть плоскость задается единичным вектором нормали  и расстоянием от начала координат . Каноническое уравнение плоскости, таким образом, имеет вид

.

Вектор, направленный по нормали от начала координат до пересечения с плоскостью, есть

.

Координаты вектора единичной нормали являются ее направляющими косинусами.

Проецирование в пространстве однородных координат осуществляется следующей последовательностью шагов.

— Сдвиг на вектор  с помощью матрицы

.

— Поворот, совмещающий направление нормали с направлением оси OZ. Как было показано ранее, этот поворот можно реализовать в виде двух поворотов: первый (относительно оси OZ) переводит нормаль в плоскость YOZ, а затем — поворот относительно оси OY до совмещения нормали с осью OZ. Соответствующую матрицу вращения, являющуюся произведением двух матриц, обозначим .

— Проекция на плоскость XOY с помощью матрицы

.

— Поворот с помощью матрицы .

— Сдвиг на вектор  с помощью матрицы

Полное преобразование, таким образом, определяется матрицей

.

Косоугольные проекции

Рассмотрим косоугольную проекцию на плоскость XOY, при которой орт  переходит в вектор , т. е. направление проекции задается вектором . Такое преобразование в пространстве однородных координат можно задать с помощью матрицы

.

В горизонтальной косоугольной изометрии вектор  переходит в вектор , а в кабинетной проекции — в вектор , причем в обеих проекциях .

Центральные проекции

Предположим, что центр проекции находится в точке , а картинная плоскость совпадает с плоскостью XOY. Возьмем произвольную точку изображаемого объекта  и определим ее проекцию на выбранную плоскость (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Центральная проекция на плоскость XOY

Прямую, проходящую через точки  и , зададим в параметрическом виде:

.     (5.1)

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с картинной плоскостью. Она определяется из условия равенства нулю третьей координаты:

,

откуда определяем значение параметра t, при котором точка прямой принадлежит координатной плоскости:

.

Подставляя это значение в формулу (7.1), мы получим координаты проекции точки :

Рис. 12

Фактором, влияющим на перспективное изменение размеров, является наличие координаты z в знаменателе. Чем ближе оказывается точка к центру проекции, тем больше знаменатель, а соответственно и координаты точки.

Мы будем рассматривать ситуацию, когда центр проекции лежит на оси OZ, а сама ось направлена от наблюдателя к проекционной плоскости, т. е. . Тогда формулы (5.2) приобретают вид

.                               (5.3)

В однородных координатах такое преобразование можно записать с помощью двух операций. Сначала умножаем матрицу проективного преобразования  на исходную точку и получаем точку в четырехмерном пространстве:

.                   (5.4)

Затем проецируем эту точку в пространство однородных координат путем деления на четвертую компоненту:

.

Посмотрим теперь, что происходит с пучком параллельных прямых под действием матрицы проекции. Пусть задан пучок прямых, параллельных вектору . Тогда параметрическое уравнение прямой, принадлежащей этому пучку, имеет вид

.

Из формулы (7.4) следует, что в результате проецирования получим множество точек

.

Переходя к однородным координатам и умножив числитель и знаменатель каждой дроби на , получим точки  вида

.

Теперь в каждой компоненте вектора числитель и знаменатель поделим на :

.

Переходя к пределу при , получим точку

.

Таким образом, получаем, что после проецирования пучок параллельных прямых пересекается в точке схода . Понятно, что у каждого пучка своя точка схода. Если пучок прямых параллелен плоскости XOY, т. е. , то точка схода оказывается на бесконечности, а значит, прямые остаются параллельными.

Для построения перспективной проекции с несколькими точками схода используется матрица перспективного преобразования без проецирования

.

Теперь точки пространства сначала подвергаются перспективному преобразованию, а затем осуществляется проекция.

Определим точки схода для прямых, параллельных осям координат. Для прямых  результатом проективного преобразования будет множество точек , где . При  получим точку с координатами . При проекции на плоскость XOY получим точку . Пучок прямых  перейдет в , , а точкой схода для него будет , которая при проецировании перейдет в точку, лежащую на оси OX . Аналогично для пучка прямых, параллельных оси OY, получим точку схода на оси OY . Эти три точки на плоскости являются главными точками схода.

С развитием торговли и путешествий приобрела большую важность довольно непростая геометрическая задача: как перенести на плоскость часть земной поверхности, чтобы расстояния между любыми двумя точками на ней остались неискаженными? Различные ученые в течение многих веков пытались разрешить эту проблему по заказам своих правительств, крупных коммерсантов или просто путешественников, для которых такая карта была бы настоящей находкой, так как существенно облегчила бы навигацию, как морскую, так и воздушную.

В целом эта задача оказалась неразрешимой. Поверхность цилиндра или конуса можно без искажений перенести на плоскость (такие поверхности называются развертывающимися), отобразить же на плоскость поверхность сферы, сохранив расстояние между любыми двумя точками, невозможно. Дело в том, что даже малую область сферической поверхности (в отличие от цилиндра или конуса) невозможно развернуть на плоскости без трещин, складок или искажений. Любая плоская карта Земли или какой-то ее части непременно будет искажать какие-либо свойства. Поэтому даже в настоящее время так необходимы карты с минимальными (еще лучше нулевыми) искажениями тех свойств, для передачи которых предназначается карта. Желательно, чтобы и другие свойства деформировались как можно меньше. Всего существует четыре основных типа искажений:

· искажение длин (линии, одинаковые на поверхности Земли, изображаются на карте отрезками разной длины);

· искажение углов (углы на карте между взятыми направлениями не равны горизонтальным углам между теми же направлениями на поверхности земного эллипсоида);

· искажение форм (форма участка или занятой объектом территории на карте отлична от их формы на поверхности Земли);

· искажение площадей (связано с масштабом площади: при постоянстве величины масштаба площади по всей поверхности карты искажения площадей на ней нет).

Помимо классических карт, большая часть которых была разработана в средние века, фантазия ученых предоставляла навигаторам весьма необычные способы проекции земной поверхности, но прежде чем описать способы составления необычных карт, рассмотрим некоторые классические методы картографии.

Центр проекции может быть произвольным по отношению к проецируемой сфере, таким образом, существует бесконечное множество всевозможных различных проекций. Если проводить лучи из некоторой точки, взятой на прямой, проходящей через центр шара перпендикулярно некоторой плоскости, то получим на этой плоскости перспективную проекцию. Рассмотрим некоторые из этих проекций, наиболее полезные с точки зрения картографии.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии