Вопрос №15. Последовательное соединение R – L – C элементов. Резонанс напряжений.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 22Следующая ⇒

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ r, L И С

Уравнение напряжений для цепи рис. 2.11, а имеет вид

(2,22)

Ū = Ū_r + Ū_L + Ū_C.

Рис. 2,11, Электри- ческая цепь, содер-
жащая последова-
тельно включен-
ные r, L и С (а), ее векторная диаграм-
ма (б), треуголь-
ники сопротивле-
ний и мощностей (в и г) цепи при x_L> x_C, векторная диаграмма (д), тре-
угольники сопро-
тивлений и мощ-
ностей(e и ж) цепи при x_C > x_L

Векторные диаграммы для цепи рис. 2.11, а изображены на рис. 2,11, б и в. Вектор напряжения на активном сопротивлении Ū_r совпадает с вектором тока, вектор напряжения на индуктивности Ū_L опережает вектор тока на 90°, вектор напряжения на емкости Ū_С отстает от вектора тока на 90°. Следовательно, между векторами напряжения на индуктивности и емкости образуется угол 180°.

Рис. 2.12. Эквивалентные схемы цепи, изображенной на рис. 2.11, а: а - х_L > х_С; б - х_С >x_L; в - х_L = х_С

Если x_L > х_С, то и U_L > U_С и векторная диаграмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.11, б, а треугольник сопротивлений — на рис. 2.11, в, где x = x_L - x_С. Если х_С > х_L, то U_C > U_L и векторная диаграмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.11, д, а треугольник сопротивлений — на рис. 2.11, е, где х = х_С - x_L. Значение напряжения, приложенного к цепи,

(2,23)

U = √(U_r)² + (U_L - U_C)².

Выразив в (2.23) напряжение через ток и сопротивления, получим

U = √(I_r)² + (Ix_L - Ix_C)² = I√r² + (x_L - x_C)².

Последнее выражение представляет собой закон Ома для последовательной цепи r, L, С:

I =

U

=

U

.

√r² + (x_L - x_C)²

z

где z = √r² + (x_L - x_C)² = √r² + x² — полное сопротивление цепи, Ом; х — реактивное сопротивление цепи, Ом.

На основании проведенного анализа цепи, состоящей из последовательно соединенных r, L, С, можно сделать следующие выводы.

Если x_L > x_С, то напряжение сети опережает по фазе ток на угол φ:

u = U_m sin (ωt + φ).

Цепь имеет активно-индуктивный характер.

Цепь может быть заменена эквивалентной цепью, изображенной на рис. 2.12, а. В эквивалентной схеме r_э = r, х_э = x_L - x_С = x_Lэ.

Если x_С > x_L, то напряжение сети отстает по фазе от тока на yгол φ:

и = U_m sin (ωt - φ).

Цепь имеет активно-емкостный характер.

Цепь может быть заменена эквивалентной цепью, изображенной на рис. 2.12, б. В эквивалентной цепи r_э = r, x_э = х_C - х_L = x_Cэ.

Резонанс напряжений.

В цепях переменного тока, где есть индуктивность и емкость, могут возникнуть явления резонанса, которые аналогичны явлению резонанса в механической системе. Однако полная аналогия - равенство собственной частоты колебаний электрического контура частоте возмущающей силы (частоте напряжения сети) — возможна не во всех случаях.

В общем случае под резонансом электрической цепи понимают такое состояние цепи, когда ток и напряжение совпадают по фазе, и, следовательно, эквивалентная схема цепи представляет собой активное сопротивление. Такое состояние цепи имеет место при определенном соотношении ее параметров r, L, С, когда резонансная частота цепи равна частоте приложенного к ней напряжения.

Резонанс в электрической цепи сопровождается периодическим переходом энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля индуктивности и наоборот.

При резонансе в электрической цепи малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызвать значительные токи и напряжения на отдельных ее участках. В цепи, где r, L, С соединены последовательно, может возникнуть резонанс напряжений, а в цепи, где r, L, С соединены параллельно,— резонанс токов.

Рассмотрим явление резонанса напряжений на примере цепи рис. 2.11, а.

Как отмечалось, при резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. угол φ = 0. и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.

z = √r² + (x_L - x_С)² = r.

Это равенство, очевидно, будет иметь место, если x_L = х_С , т. е. реактивное сопротивление цепи равно нулю:

x = x_L — x_С = 0.

Выразив x_L и x_С соответственно через L, С и f, получим

2πfL =

,

2πfC

откуда

f =

= f_рез

2π√LC

где f — частота напряжения, подведенного к контуру; f_рез — резонансная частота.

Таким образом, при x_L = x_С в цепи возникает резонанс напряжений, так как резонансная частота равна частоте напряжения, подведенного к цепи.

Из выражения закона Ома для последовательной цепи

I =

U

.

√r² + (x_L - x_С)²

Рис. 2.14. Векторная диаграмма (а) и графики мгновенных значений и, i, р (б) цепи рис. 2.11, а при резонансе напряжений

вытекает, что ток в цепи при резонансе равен напряжению, деленному на активное сопротивление:

I = U/r.

Ток в цепи может оказаться значительно больше тока, который был бы при отсутствии резонанса. При резонансе напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости:

Ix_L = Ix_С = U_L = U_C.

При больших значениях x_L и х_C относительно r эти напряжения могут во много раз превышать напряжение сети. Резонанс в цепи при последовательном соединении потребителей носит название резонанса напряжений.

Напряжение на активном сопротивлении при резонансе равно напряжению, приложенному к цепи:

U_r = Ir = U.

На рис. 2.14, а изображена векторная диаграмма цепи рис. 2.11, а при резонансе напряжений Диаграмма подтверждает тот факт, что ток совпадает по фазе с напряжением сети и что напряжение на активном сопротивлении равно напряжению сети. Реактивная мощность при резонансе равна нулю:

Q = Q_L - Q_C = U_LI - U_CI = 0.

так как U_L = U_C.

Полная мощность равна активной мощности;

S = √P² + Q² = P,

так как реактивная мощность равна нулю. Коэффициент мощности равен единице:

cos φ = P/S = r/z = 1.

Поскольку резонанс напряжений возникает, когда индуктивное сопротивление последовательной цепи равно емкостному, а их значения определяются соответственно индуктивностью, емкостью цепи и частотой сети,

x_L = 2πfL, x_С =

.

2πfС

Резонанс может быть получен или путем подбора параметров цепи при заданной частоте сети, или путем подбора частоты сети при заданных параметрах цепи.

Вопрос № 16. Параллельное соединение катушки индуктивности и конденсатора. Метод проводимостей.

Параллельное соединение приемников. Вначале рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.16, а). Для такой цепи характерно то, что напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен сумме токов ветвей.

Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

I₁ =

U

; I₂ =

U

; I₃ =

U

(x_L3 > x_C3).

√r₁² + x_L1²

√r₂² + x_C2²

√r₃² + (x_L3 - x_C3)²

Угол сдвига φ между током каждой ветви и напряжением определяют с помощью cos φ:

cos φ₁ =

r₁

; cos φ₂ =

r₂

; cos φ₃ =

r₃

.

√r₁² + x_L1²

√r₂² + x_C2²

√r₃² + (x_L3 - x_C3)²

Рис. 2.16. Цепь с параллельным соединением потребителей (а)

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов всех ветвей:

Ī = Ī₁ + Ī₂ + Ī₃.

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме рис. 2.16, б.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:

Р = Р₁ + P₂ + P₃.

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

n

Q =

∑

Q_k .

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс, ветви с емкостью — со знаком минус. Для цепи рис. 2.16 реактивная мощность равна

Q = Q_L1 - Q_C2 + Q_L3 - Q_C3.

Полная мощность цепи

S = √P² + Q².

Угол сдвига φ между общим током и напряжением определяют из векторной диаграммы или из выражения:

cos φ = P/S.

Графоаналитический метод не удобен для расчета разветвленных цепей: он отличается громоздкостью и невысокой степенью точности.

Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.

В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:

g = 1/r

и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:

I = Ug.

Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе

В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная, активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.

Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока I_a ), а другая - на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока I_р ).

Активная составляющая тока определяет активную мощность

P = UI cos φ = UI_a ;

реактивная составляющая тока - реактивную мощность

Q = UI sin φ = UI_р.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I₁ равна

I_1a = I₁ cos φ₁ =

U

r

= Ur₁/z₁² = Ug₁.

z₁

z₁

Величина

g₁ = r₁/z₁²

называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I₁ равна

I_lp = I₁ sin φ₁ =

U

x_L

= Ux_L/z₁² = Ub₁.

z₁

z₁

Величина

b₁ = x_L/z₁² = b_L1

называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается b_L.

Аналогично определяют активную g₂ и реактивную b₂ проводимости второй ветви цепи:

I_2а = I₂cos φ₂ = U/z₂ • r₂/z₂ = Ug₂ ; g₂ =r² /z₂² ;

I_2p = I₂ sin φ₂ = U/z₂• x_C /z₂ = U_b2; b₂ = b_C2 = x_C2 /z₂².

Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается b_C.

Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока

Ī₁ = Ī_1а + Ī_1р,

а значение тока

I₁ = √I_1а² + I_1р².

Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим

I₁ = √(Ug₁)² + (Ub_L1)² = U √g₁² + b_L1² = Uу₁ = U/z₁,

где у₁ = 1/z₁ = √g₁² + b_L1² — полная проводимость ветви.

Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:

у₂ = 1/z₂ = √g₂² + b_С².

Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.

Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī₁ и Ī₂:

Ī = Ī₁ + Ī₂

и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:

Ī = Ī_а + Ī_р = Ūg_э + Ūb_э = Uу_э = U/z_э .

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

(2.24)

I_а = I_1а + I_2а = Ug₁ + Ug₂ = U(g₁ + g₂) = Ug_э .

а реактивная составляющая - арифметической разности реактивных составляющих этих токов:

(2.25)

I_р = I_1р + I_2р = Ub_L1 - Ub_C2 = U (b_L1- b_C2)= Ub_э .

Рис. 2.18. К расчету разветвлен-
ной цепи с использова-
нием проводимостей

Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что эквивалентная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей:

(2.26)

g_э = g₁ + g₂ + ... + g_n ,

а эквивалентная реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельно включенных ветвей:

(2.27)

b_э = b_L1 + b_С2 + ... + b_Ln + b_Сп .

При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, ветвей с емкостным характером нагрузки — со знаком минус. Полная эквивалентам проводимость цепи

(2.28)

у_э = 1/z_э = √g_э² + b_э².

По эквивалентным активной, реактивной и полной проводимостям можно определить параметры эквивалентной схемы (рис. 2.17, в) цепи.

Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления цепи определяют с помощью выражений

z_э = 1/у_э , r_э = g_эz_э², х_э = b_эz_э².

Необходимо отметить, что если Σb_L > Σb_C, то эквивалентное сопротивление х_э будет индуктивным, если Σb_C > Σb_L —емкостным.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры