Аналитический метод с использованием комплексных чисел

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 22Следующая ⇒

Пример (рис. 2.3)

Рис. 2.3

i₁(t) = I_m1 sin(ωt)
i₂(t) = I_m2 sin(ωt + ψ₂)

i(t) = ?

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

i(t) = i₁(t) + i₂(t) = I_m1 sin(ωt) + I_m2 sin(ωt - ψ₂) = I_m sin(ωt + ψ).

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

(2.4)

I_m sin ψ = I_m2 sin ψ₂;

(2.5)

I_m cos ψ = I_m2 cos ψ₂ + I_m1;

Рис. 2.4

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

;
.

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Í_m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

Í_m = I_me^jψ,

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

           Вопрос № 10. Идеальные элементы в цепях синусоидального тока.

•   идеальный резистор,

•   11. идеальный индуктивный элемент,

•   12. идеальный емкостной элемент.

Рассмотрим цепь, содержащую только резистивный элемент с активным сопротивлением r. Под активным сопротивлением понимают сопротивление проводников переменному току.

Мгновенное значение тока в цепи с активным сопротивлением (рис. 2.6, а) определяется по закону Ома:

i = u/r.

Выразив u черезамплитудное значение

u = U_m sin ωt,

Рис 2.6. Электрическая цепь, содержащая резистивный элемент с активным сопротивлениемr (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значений u, i, p (в)

получим

(2.3)

i =

U_m sin ωt

= I_m sin ωt,

r

где

I_m = U_m /r.

Разделив левую и правую части на √2, получим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, выраженный через действующие значения напряжения и тока.

I = U/r.

Из выражения (2.3) следует, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма цепи изображена на рис. 2.6, б, а график мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.6,в.

Мгновенная мощность цепи равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

р = ui = U_m sin ωt • I_m sin ωt.

Из графика мгновенной мощности (рис. 2.6, в) видно, что мощность изменяется от нуля до Р_m ,оставаясь все время положительной. Это означает, что в цепи с активным сопротивлением энергия все время поступает из сети к приемнику r и необратимо преобразуется в нем в теплоту, которая нагревает сопротивление и рассеивается в окружающей среде.

Среднее значение мощности за период

T

T

Т

T

U_mI_m

Т

T

1 - cos 2ωt

dt =

U_mI_m

.

P_ср =

∫

pdt =

∫

U_mI_m sin² ωt dt =

∫

Выразив амплитудные значения напряжения и тока через действующие значения, получим

P_ср = UI.

После подстановки U = Ir будем иметь

(2.4)

P_ср = UI = I²r = Р.

Из выражения (2.4) вытекает, что среднее значение мощности есть электрическая мощность, которая преобразуется в активном сопротивлении в теплоту. Такую мощность называют активной и обозначают символом Р.

К приемникам активной мощности относятся также электрические двигатели, в которых электрическая мощность преобразуется в механическую мощность, развиваемую двигателем на валу.

Активная мощность измеряется ваттметром, включенным соответствующим образом в электрическую цепь переменного тока.

    В резистивном элементе РЭ происходит преобразование электрической энергии в тепловую.

Если , то

следовательно , и (напряжение и ток совпадают по фазе)

Комплексные действующие значения тока и напряжения:

,      

Комплексное сопротивление РЭ содержит лишь активную составляющую (чисто активное сопротивление)

Мгновенная мощность

Активная мощность:

Используются также следующие понятия:

Полная мощность:

Реактивная мощность:

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности