Цепь, содержащая резистивный и емкостный элементы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 22Следующая ⇒

I =

U

=

U

.

ωL

x_L

где x_L = ωL = 2πfL — индуктивное сопротивление, Ом.

Представив в (2.7) ЭДС самоиндукции и напряжение векторами, получим уравнение цепи в векторной форме для действующих значений

Ē = - Ū,

или после замены напряжения произведением тока и индуктивного сопротивления

Ē = - Īx‾_L.

Таким образом, ЭДС самоиндукции может быть выражена через ток и индуктивное сопротивление. Такой способ выражения ЭДС во многих случаях значительно упрощает анализ цепей с индуктивностью.

Мгновенная мощность цепи с индуктивностью равна

р = ui = I_m sin ωt • U_m sin (ωt +

π

) =

U_mI_m

sin 2ωt = UI sin 2ωt =P_m sin 2ωt.

Мгновенное значение мощности (рис. 2.7, в) изменяется синусоидально с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности

P_m = UI.

Легко показать аналитически и из графика рис. 2.7, в, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю:

T

T

P =

∫

ui dt = 0.

Для пояснения энергетических процессов в цепи с индуктивностью используем график рис. 2.7, в.
В интервале времени от t = 0 (точка 1) до t= T/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до I_m, электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, преобразуется и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля.

Наибольшее значение энергии магнитного поля будет в момент времени, соответствующий точке 2, когда ток достигает амплитудного значения.

W_L =

I²_mL

.

Можно показать, что эта энергия равна заштрихованной площади графика р = f(t) в интервале времени между точками 1 и 2 (отмечена знаком « + ». Действительно,

T/4

T/4

U_mI_m

sin 2ωt dt =

U_mI_m

| -cos2ωt|₀^T/4 =

U_mI_m

=

I_m²x_L

=

I_m²ω_L

=

I_m²L

.

2 • 2ω

2ω

2ω

2ω

W_L =

∫

ui dt =

∫

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую энергию и возвращается в сеть. В момент времени, соответствующий точке 3, ток и энергия магнитного поля равны нулю.

Энергия, отданная в сеть, равна заштрихованной площади графика p = f(t) в интервале времени между точками 2 и 3 (отмечена знаком « - »). Из графиков рис. 2.7, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивности в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяются направления тока и магнитного потока. Происходит процесс, аналогичный процессу в первую четверть периода: энергия из сети поступает в индуктивность и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля. В последнюю четверть периода в интервале времени между точками 4и 5 энергия магнитного поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью (источником энергии) и индуктивностью.

 Вопрос № 12. ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С ЕМКОСТЬЮ С

В радиоэлектронных устройствах емкость является элементом колебательных контуров, фильтров, элементом связи между контурами и т. п. В силовых установках конденсаторы используют для улучшения коэффициента мощности, как элемент колебательного контура высокочастотных установок для закалки и плавки металлов. В любой электрической установке емкости образуются между проводами, проводами и землей и другими элементами токоведущих конструкций.

При большой протяженности проводов емкость может оказаться значительной, и при расчете цепей даже низкой, например промышленной, частоты ее необходимо учитывать. В высокочастотных цепях даже небольшие емкости оказывают существенное влияние на режим работы цепи и их необходимо учитывать.

Ток в цепи с емкостью (рис. 2.8, а) представляет собой движение зарядов к ее обкладкам:

(2.10)

i = dq/dt.

Выразив в (2.10) заряд q через емкость С и напряжение на емкости и_С, из выражения

С = q/u_С

получим

i = Cdu_С /dt.

Напряжение на емкости изменяется синусоидально:

(2.11)

и = и_С = U_m sin ωt.

Тогда ток в цепи

i = C

dU_m sin ωt

.

dt

Взяв производную, получим мгновенное значение тока в цепи с емкостью:

(2.12)

i = ωCU_m cos ωt = I_m sin (ωt + π/2).

Сравнивая выражения (2.11) и (2.12), можно сделать вывод, что ток в емкости опережает напряжение на емкости по фазе на 90°.

Векторная диаграмма цепи с емкостью приведена на рис. 2.8, б, а график мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.8, в.

Рис. 2.8. Электрическая цепь, содержащая емкостный элемент с ем­костью С (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значений u, i, p (в)

Напряжение и ток в цепи с емкостью, как следует из выражения (2.12), связаны соотношением

I_m = ωCU_m ,

откуда

(2.13)

I_m =

U_m

.

1/ωC

Разделив левую и правую части (2.13) на √2, получим закон Ома для цепи с емкостью:

(2.14)

I =

U

=

U

,

1/ωC

х_С

где х_С = 1/ωC — емкостное сопротивление, Ом.

Таким образом, напряжение на емкости в цепи переменного тока может быть выражено через произведение тока на емкостное сопротивление:

U = U_C = Iх_C .

Мгновенное значение мощности р в цепи с емкостью равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:

Р = ui = U_m sin ωtI_m sin (ωt + π/2) =

U_mI_m

sin 2ωt = UI sin 2ωt = P_m sin 2ωt.

Из полученного выражения вытекает, что мгновенная мощность изменяется по закону синуса с частотой, в 2 раза большей частоты тока, и ее амплитудное значение

Р_т = UI.

Среднее значение мощности за период (активная мощность), как видно из графика рис. 2.8, в, равно нулю:

T

T

P =

∫

ui dt = 0.

Для пояснения энергетических процессов в цепях с емкостью воспользуемся графиками, изображенными на рис. 2.8, в. В первую четверть периода, в интервале времени между точками 1и 2, напряжение на конденсаторе возрастает, происходит заряд конденсатора: электрическая энергия из сети поступает к конденсатору и накапливается в нем в виде энергии электрического поля. Накопленная энергия равна заштрихованной площади, ограниченной кривой р(t) (отмечена знаком « + »), и составляет

T/4

T/4

U_mI_m

U_m²C

W_C =

∫

ui dt =

∫

sin 2ωt dt =

.

В следующую четверть периода, в интервале времени между точками 2 и 3, ток изменяет направление, а напряжение на конденсаторе убывает. Происходит разряд конденсатора: энергия электрического поля возвращается в сеть. Энергия, возвращенная в сеть, равна площади, ограниченной кривой р (t) (отмечена знаком « - »).

Из графиков рис. 2.8, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергии, равны. Следовательно, энергия, накопленная в электрическом поле емкости в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода, в интервале времени между точками 3 и 4, изменяется полярность напряжения на обкладках конденсатора. Происходит заряд конденсатора: электрическая энергия из сети поступает к конденсатору и накапливается в нем в виде энергии электрического поля. В последнюю четверть периода, в интервале между точками 4 и 5, происходит разряд конденсатора: энергия электрического поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с емкостью, так же как и в цепи с индуктивностью, происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью и конденсатором.

Если , то

,  и  ,  

Вопрос № 13. Реальные элементы в цепях синусоидального тока реальная катушка индуктивности

ЦЕПЬ, СОДЕРЖАЩАЯ КАТУШКУ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ r И ИНДУКТИВНОСТЬЮ L

Реальная катушка (обмотка) любого электротехнического устройства обладает определенным активным сопротивлением r и индуктивностью L. Для удобства анализа таких цепей катушку обычно изображают в виде двух идеальных элементов — резистивного r и индуктивного L, соединенных последовательно (рис. 2.9, а). Используя выводы, вытекающие из анализа идеальных цепей, участок цепи с индуктивностью L будем рассматривать как участок, обладающий индуктивным сопротивлением х_L. Уравнение напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа для цепи с r и L, имеет вид

u = u_r + u_L.

Выразив напряжения u_r и u_L через ток i = I_m sin ωt и сопротивления участков цепи r и х_L, получим

u = I_mr sin ωt + I_mx_L sin(ωt +

π

),

Рис. 2.9. Электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности r и L(а), ее векторная диаграмма (б), графики мгновенных значений u, i, р (в), треугольники мощностей и сопротивлений (г, д), графики мгновенных значений р_a , p_L (e)

где u_r = I_mr sin ωt — напряжение на активном сопротивлении (активное напряжение), совпадающее по фазе с током; u_L = I_mx_Lsin (ωt + π/2) — напряжение на индуктивном сопротивлении (индуктивное напряжение), опережающее ток по фазе на 90°.

На векторной диаграмме (рис. 2.9, б) вектор Ū_r совпадает с вектором тока, а вектор Ū_Lопережает вектор тока на 90°.

Из диаграммы следует, что вектор напряжения сети равен геометрической сумме векторов Ū_r иŪ_L:

Ū = Ū_r + Ū_L,

а его значение

U = √U_r² + U_L².

Выразив напряжения через ток и сопротивления, получим

U = √(I_r)² +(Ix_L)² = I√r² + x_L².

Последнее выражение представляет собой закон Ома цепи r, x_L

I =

U

=

U

,

√r² + x_L²

z

где z = √r² + x_L² — полное сопротивление цепи, Ом.

Из векторной диаграммы следует, что напряжение цепи r, L опережает по фазе ток на угол φ и его мгновенное значение

u = U_m sin (ωt + φ)

Графики мгновенных значений напряжения в тока цепи изображены на рис. 2.9, в.

Угол сдвига по фазе φ между напряжением и вызванным им током определяют из соотношения

(2.15)

cos φ =

U_r

=

I_r

=

r

=

r

.

U

I_z

z

√r² + x_L²

Как видно, cos φ и, следовательно, угол φ зависят только от параметров цепи r и x_L.

Разделив стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 2.9, д), Стороны треугольника сопротивлений представляют собой отрезки, а не векторы, так как сопротивления есть постоянные, не изменяющиеся синусоидально величины.

Мгновенная мощность цепи с r и L равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

р = ui = I_m sin ωt U_m sin (ωt + φ).

Средняя мощность за период

1

T

T

Т

T

Р_ср =

∫

ui dt =

∫

I_mU_m sin ωt • sin (ωt + φ) dt.

Выразив произведение синусов через разность косинусов, после почленного интегрирования получим

(2.16)

1

T

T

U_mI_m

2

Р_ср =

∫

[cos φ — cos(2ωt + φ)] dt = UI cos φ.

Подставив в (2.16) вместо cos φ его значение из (2.15), получим

(2.17)

Р_ср = UI cos φ = UI

r

= I²r = P.

z

Из (2.17) вытекает, что среднее значение мощности в цепи с r и L есть активная мощность, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде теплоты.

График мгновенной мощности изображен на рис. 2.9, в.

Из графика p_a(t) видно, что активная мощность непрерывно поступает из сети и выделяется в активном сопротивлении в виде теплоты. Она равна

1

T

T

Р=

∫

U_mrI_m sin² ωt dt = U_rI = UI cos φ.

Мгновенная мощность р_L, обусловленная энергией магнитного поля индуктивности, циркулирует между сетью и катушкой. Ее среднее значение за период равно нулю:

T

T

π

Р_L =

∫

U_mLI_m sin ωt • sin (ωt +

) dt = 0.

Вопрос № 14. Реальный конденсатор

Используя выводы § 2.6. участок цепи с емкостью С будем представлять как участок, обладающий емкостным сопротивлением x_С . В этом случае уравнение напряжений цепи (рис. 2.10, а) имеет вид

Ū = Ū_r + Ū_С.

На рис. 2.10, б изображена векторная диаграмма цепи r и С. Вектор напряжения Ū_r совпадает с вектором тока, вектор Ū_C отстает от вектора тока на угол 90°. Из диаграммы следует, что модуль напряжения, приложенного к цепи, равен

(2,18)

U = √U_r² + U_C².

Выразив U_r и U_C в (2.18) через ток и сопротивления, получим

U = √(Ir)² + (Ix_C)².

откуда

U = I√r² + x_C².

Последнее выражение представляет собой закон Ома цепи r и С:

I =

U

=

U

.

√r²+ x_C²

z

где z = √r² + x_C² — полное сопротивление, Ом.

Рис. 2.10 Электрическая цепь, содержащая резис-
тивный r и емкост-
ный С элементы (а), ее векторная диаграмма (б), графики мгновенных значений и, i, р (в). треугольники мощностей и сопротивлений (г ид)

Из векторной диаграммы следует, что напряжение цепи r и С отстает по фазе от тока на угол φ и его мгновенное значение

u = U_т sin (ωt - φ).

Графики u(t), i(t) изображены на рис. 2.10, в. Разделив стороны треугольника напряжений (рис. 2.10, б) на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 2.10, д), из которого можно определить косинус угла сдвига фаз между током и напряжением

(2.19)

cos φ =

r

=

r

.

z

√r² + x_C²

Мгновенная мощность цепи

р = ui = I_m sin ωt U_m sin (ωt - φ).

Средняя мощность за период

(2.20)

T

T

Т

T

P_ср =

∫

ui dt =

∫

I_mU_m sin ωt • sin (ωt - φ) dt = UIcos φ.

Подставив в (2.20) вместо cos φ его значение из (2.19), получим

(2.21)

Р_ср = UI cos φ = UI

r

= I²r = Р.

z

Таким образом, среднее значение мощности цепи с r, С, так же как и цепи с r, L, представляет собой активную мощность, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде теплоты.

На рис. 2.10, в изображен график мгновенной мощности цепи с r, С.

Энергетические процессы цепи с r, С можно рассматривать как совокупность процессов, происходящих отдельно в цепи с r и С. Из сети непрерывно поступает активная мощность. Реактивная мощность, обусловленная электрическим полем емкости, непрерывно циркулирует между источником и цепью. Ее среднее значение за период равно нулю.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США