D(X)=M[(X-M(X))2 ]=М[Х2-2М(Х)Х+(М(Х))2]=М(Х)2-2М(Х)М(Х)+ +(М(Х))2=М(Х2)-[М(Х)]2=М(Х2)-М2(Х)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

D(X)=M[(X-M(X))2 ]=М[Х2-2М(Х)Х+(М(Х))2]=М(Х)2-2М(Х)М(Х)+ +(М(Х))2=М(Х2)-[М(Х)]2=М(Х2)-М2(Х)

Формула для упрощенного вычисления дисперсии дискретной случайной величины

s² = D(X) = М(Х²) - М²(Х)                     (17)

Вычислим дисперсию случайной величины для примера 1, используя этот способ. Результаты оформим в виде рабочей таблицы.

х

Р(х)

хР(х) 

х²Р(х)

0,1

0,2

0,2

0,2

0,3

0,6

1,2

0,2

0,6

1,8

0,1

0,4

1,6

0,1

0,5

2,5

å

1,0

М(х)=2,3

М(х²)= 7,3

Первая колонка в таблице - значения Х, вторая колонка - вероятности этих значений, третья есть результат произведения первой колонки на вторую и четвертая есть результат произведения первой колонки на третью (потому что х²Р(х) получается умножением х на х(Р(х)). Сумма значений третьей колонки дает ожидаемое среднее значение Х, а сумма значений четвертой колонки - ожидаемое среднее значение Х². Затем, чтобы получить дисперсию Х, мы вычисляем разность М(Х²) - [М(Х)] ²

s =                                          (18)

Для примера 1 среднее квадратическое отклонение есть:

s= =1,418.

В чем смысл дисперсии и среднего квадратического отклонения? Как мы можем интерпретировать их значения? По определению s² - средний квадрат отклонения значений случайной величины от математического ожидания. Отсюда следует, что это мера рассеяния всех возможных значений случайной величины относительно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует колеблемость, изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем дальше от средней находятся возможные значения случайной величины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно применять значение, которое дает корень квадратный из дисперсии - среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, которая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое отклонение , более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями, часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций. Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квадратическим отклонением считаются более рискованными (хотя более высокое стандартное отклонение предполагает возврат более вариабельный с обеих сторон - как ниже, так и выше средней).

[1] Дискретные случайные величины называются одинаково распределенными, если у них одинаковые ряды распределения, а, следовательно, и одинаковые числовые характеристики

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология