интегральная функция распределения)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

...

x_n

или                                                                  

    Пример 3. В условиях лотереи, описанной в примере 2., два посетителя магазина приобрели по одному билету стоимостью по 1 руб. Составить закон распределения суммы выигрыша для второго посетителя, если первый выиграл книгу стоимостью в 30 рублей.

    Если первый посетитель выиграл книгу стоимостью в 30 руб., то второй посетитель может или не выиграть, или выиграть книгу стоимостью в 10 руб. Первому событию благоприятствуют 47 из оставшихся 49 исходов, второму - 2 исхода.

    Следовательно, закон распределения случайной величины У (сумма выигрыша второго посетителя) при условии, что случайная величина Х (сумма выигрыша первого посетителя) приняла значение 29 (Х = 29), имеет вид;

Сумма выигрыша (Х)

- 1

Вероятность (Р)

47/49

2/49

2. Функция распределения

    При анализе экономических явлений определенный смысл имеют кумулятивные (накопленные) вероятности случайных величин. Нас может интересовать вероятность того, что число проданных единиц некоторого товара окажется не меньше некоторого определенного числа, гарантирующего прибыль продавцу, вероятность того, что суммы возможных убытков от рискованных инвестиций окажутся не выше (или только меньше) некоторого определенного значения и т.д.

    Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно составить функцию накопленных вероятностей. Определим интегральную (кумулятивную)функцию распределения.

    Функцией распределения дискретной случайной величины называется функция F(x) , определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, то есть 

       F(x) = P(X < x)                                                         (2)

х                    Х

Х<x

F(x) - есть вероятность того, что случайная точка Х окажется левее фиксируемой точки.

Итак, ДСВ Х можно рассматривать как случайную точку на числовой оси.

Пусть на оси выбрана конкретная точка х, тогда в результате опыта случайная точка Х может оказаться левее или правее выбранной нами точки. Очевидно, что вероятность того, что случайная точка Х окажется левее точки х будет зависеть от положения точки х, то есть являться функцией аргумента х.

Для ДСВ Х, которая может принимать значения х1, х2,...,хn  , функция распределения примет вид

                            (3)

Где неравенство х_i<x под знаком суммы означает, что суммирование касается тех значений х_i, величина которых меньше х. Поясним эту формулу, исходя из определения F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное значение, но такое, что выполняется неравенство . Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения, которые имеют индекс 1,2,3,…,i. Поэтому неравенство X<x выполняется, если величина Х примет значение x_k,  где k=1,2,3,…,i . Таким образом, событие X<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий X=x₁, X=x₂, X=x₃, …, X=x_i . Так как эти события несовместные, то по теореме сложения вероятностей имеем .

Функция распределения (интегральная функция распределения) существует как для дискретных, так и для непрерывных СВ. F(х) является универсальной формой закона распределения.

Построим функцию распределения.

Пример 4. Для примера 1  найти функцию распределения случайной величины Х - числа рекламных объявлений, построить её график.

    Случайная величина Х не принимает значений, меньших 0. Следовательно, если х  0, то событие Х < х - невозможно, а вероятность его равна нулю. Поэтому функция распределения случайной величины Х для всех значений х  0 также равна 0. Для всех х, удовлетворяющих двойному неравенству 0 < х  1, функция F(x) означает вероятность события X < 0,2 . Но случайная величина Х имеет вероятность меньшую  0,2, лишь в одном случае: значение 0 с вероятностью 0,1.

    Покажем, что для всех х, удовлетворяющих двойному неравенству 1<х 2, F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3. Пусть, например, х = 2. Тогда F(2) выражает вероятность события Х < 2. Это возможно в двух случаях: или случайная величина Х принимает значение 0 (с вероятностью 0,1), или 1 (с вероятностью 0,2). Применяя теорему сложения вероятностей, мы и получим указанное значение функции F(x) при х=2.

    Аналогичные рассуждения позволяют найти функцию распределения. Запишем ее в табличной форме.

Таблица 3

Функция распределения (интегральная функция распределения) для примера 3

x

x£0

0<х 1

1<x 2

2<х 3

3<х 4

4<х 5

x>5

F(x)

0,1

0,3

0,6

0,8

0,9

или F(x) можно записать так:

F(x)=                          

Построим график интегральной функции распределения

    Функция распределения каждой дискретной случайной величины постоянна на интервалах, на которых нет ее значений и имеет скачки в точках, соответствующих ее значениям. Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает свои значения. Сумма всех скачков равна 1.

Рис.2. График интегральной функции для примера 1

       F(x)

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов