Метод підстановки у визначеному інтегралі

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10

Теорема: Якщо: 1) f(x) – неперервна для xÎ[a;b]; 2) j(a)=а, j(b)=b; 3) x=j(t) та j‘(t) – неперервні для tÎ [a;b]; 4) при tÎ [a;b]èxÎ [a;b], то

Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

44. Площі плоских фігур.

Визначений інтеграл від додатної неперервної функції  , заданої на відрізку , чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції  і прямими  (рис. 3.1):

.                          (3.1)

В разі, коли  на  (рис.3.2)   

                      .     (3.2

Якщо функція  на відрізку  скінчене число разів змінює знак, то

.

Площу фігури, обмеженої кривими  та  і прямими  за умови, що  (рис.3.3) знаходять за формулою

.                            (3.3)

45. Обчислення об’ємів тіл, тіл обертання.

Нехай функція  - неперервна і додатна на відрізку .

Об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі  криволінійної

трапеції, обмеженої кривою  та відрізками прямих  (рис.3.6), дорівнює

.                      (3.11)

    Якщо задані дві неперервні криві  такі, що ,   при , то об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі  плоскої фігури, обмеженої цими лініями та відрізками прямих  (рис.3.7), обчислюється за формулою

.      (3.12)

9) Якщо f(x) – інтегровна та m£f(x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то

10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= cÎ [a;b], що:

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі     криволінійної трапеції, обмеженої неперервною кривою , прямою  та відрізками прямих ,  (рис.3.8), дорівнює

            .      (3.13)                                        

   У разі параметричного задання кривої рівняннями , , об’єми утворених тіл обертання навколо осі  або осі  визначаються відповідно формулами:

,  (3.14) .   (3.15)

У випадку, коли фігура обмежена кривою  та прямими  (рис.3.4), її площу знаходять за формулою

.                                             (3.4)

Якщо крива задана параметричними рівняннями   , де  - неперервні функції, що мають неперервні похідні на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими  та відрізком  осі , визначається за формулою:

,                                (3.5)

де  і  - значення параметра , при яких .

46. Обчислення довжини кривої.

Нехай крива задана рівнянням , , причому  неперервна разом із своєю похідною на . Тоді довжина дуги кривої визначається формулою

                                .              (3.7)

  Вираз  називається диференціалом дуги. В разі, коли крива задається рівнянням  довжина дуги кривої обчислюється так:

                                            .      (3.8)

   У разі параметричного задання кривої , довжина дуги дорівнює:

                                    .    (3.9)

Якщо ж гладка крива задана рівнянням  в полярних координатах, то

.                                (3.10)

47. Площа поверхні обертання. Фізичні застосування.

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі  дуги гладкої кривої, заданої функцією , , обчислюється за формулою

. (3.17)

   Якщо гладка крива задана рівнянням , , то площа поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі , може бути обчислена за формулою

. (3.18)

У разі параметричного задання кривої рівняннями , , , де функції ,  - неперервні

разом із своїми похідними, відповідні площі поверхні обчислюються за формулами:

,                            (3.19)

.                            (3.20)

     Площа поверхні, отриманої обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою  та двома полярними радіусами , , визначається за формулою

.                         (3.21)

Знайти площу поверхні сфери, як тіла обертання.

Розв’язання

   Нехай сфера утворена обертанням кола  навколо осі . Знайдемо :

(верхня половина кола), тоді

.

    Обчислимо , тоді

.

    Отже, за формулою (3.17):

.

    Площа поверхні сфери дорівнює .

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов