Фундаментальна послідовність. Коші.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 10Следующая ⇒

22. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші.

22. Фундаментальна послідовність. Коші.

Фундаментальна послідовність — в математичному аналізі послідовність, члени якої наближаються як завгодно близько один до одного зі збільшенням порядкових номерів.

Означення.

• Послідовність елементів метричного простору називається фундаментальною послідовністю, якщо для кожного дійсного існує таке ціле (яке залежить від ), що для всіх цілих виконується

(так званий критерій Коші).

Трохи неформально висловлюючись, вимагаємо, що члени послідовності із достатньо великими індексами (більшими за ) стають як завгодно близькими один до одного у (відстань менша за ). Це наштовхує на думку про існування границі фундаментальної послідовності у . Але насправді границі може й не бути! А саме,

• Метричний простір в якому кожна фундаментальна послідовність має границю в називають повним.

(Неформально: у "немає дірок", множина точок розриву є множина міри 0, М - вимірна за Жорданом.)

23. Границя функції в точці. Означення: за коші, за Гейне. Властивості.

Определим понятие окрестности точки х₀ как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x₀| < δ, где δ > 0 – некоторое число. Само значение х₀ может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение 13.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀, если  такое, что |f(x) - A| < ε при |x - x₀| < δ.

Обозначение: .

Замечание. Для существования предела функции в точке х₀ не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке.

Определение 13.8. Функция у = f(x) имеет бесконечный пределпри х, стремящемуся к х₀ (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если  такое, что |f(x)| > M  при

|x - x₀| < δ.

Обозначение:

Определение 13.9. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если  при x > X ( ), при x < -X ( ), при |x| > X (

Замечание. Бесконечный предел функции на бесконечности можно определить по аналогии с определением 13.8.

Определение 13.10. Функция у = f(x) называется ограниченнойв некоторой области значений х, если существует число М>0 такое, что |f(x)|<M для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области.

24. Відношення «0»та «о». Властивості.

Рассмотрим функции α(х) и β(х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀.

1. Если  то α(х) и β(х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые.

2. Если  то α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х).

3. Если , то α(х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β(х).

Обозначения: α(х)=О(β(х)) – бесконечно малые одного порядка, α(х)~β(х) – эквивалентные бесконечно малые, α(х)=о(β(х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.

Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х→0, эквивалентные х: sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), e^x-1.

Замечание 2. При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.

Пример.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте