Теорема (первая теорема Вейерштрасса)

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 10Следующая ⇒

Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.

Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b] .

Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется

точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)

точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x₁)>1,f(x₂)>2,f(x₃)>3,...,f(x_n)>n...

Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞x_nk=x₀ (1)

Рассмотрим соответствующую последовательность (f(x_nk)). С одной стороны f(x_nk)>_nk и поэтому limk→∞f(x_nk)=+∞

(2),

С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk→∞f(x_nk)=f(x₀) (3)

Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1

Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции.

c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении

функции своих граней.

Замечание 2

Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Познавательные статьи:

Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману

Последнее изменение этой страницы: 2024-06-27; просмотров: 61; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.217.128 (0.007 с.)