Правила знаходження диференціала

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 10Следующая ⇒

Фізичний зміст похідної

Якщо ) - залежність пройденого шляху від часу, то:

1) - швидкість прямолінійного руху;

2)  прискорення прямолінійного руху.

1. Похідна алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Следствие

Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок.

Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на I и в 2 его точках a и bпринимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке c между a и b функция обращается в нуль, т.е. f(c)=0

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f(a)<0,f(b)>0,f(c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, гдеf(c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Замечание. Доказанная теорема играет важную роль и при решении неравенств.

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если f непрерывна на I и в двух его точках a и bf(a)=A>B=f(b), то для всякой точки C∈[B,A] между точками a и b найдется хотя бы одна точкаc,

чтоf(c)=C.

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямаяy=C, где B<C<A, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке.

Замечание. Если f - непрерывна и непостоянна на I, то образом этого промежутка I при отображении f будет также промежуток (т.е. непрерывным образ f(I)промежутка I есть промежуток). В самом деле, по теореме из того, что B,A∈E(f) следует, что интервал

(B;A)⊂E(f) , т.е.

E(f)⊂f(I) - промежуток.

2. Похідна добутку двох диференційованих функцій до­рівнює сумі добутків похідної першої функції на другу функцію і першої функції на похідну другої функції:

3. Сталий множник можна винести за знак похідної:

де С - константа (число).

4. Похідна частки двох диференційованих функцій дорівнює дробу, знаменником якого є квадрат знаменника цього дробу, а чисельником - різниця між добутком похідної чисель­ника на знаменник і добутком чисельника на похідну знаменни­ка: .

5. Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції за проміжним аргументом u на похідну проміжного аргументу за х. Якщо , то

1. , с - стала

2. . ,

3. .

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

30. Теореми Ролля, Лангранжа, Коші.

Теорема Ролля. Нехай задано функцію , непере­рвну на відрізку [а,b] і диференційовну на інтервалі (а,b). Тоді, якщо f(a) = f(b), то всередині відрізка [а, b] знайдеться точка С(а<С<b), така що .

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови тео­реми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка С, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію y-f(x), неперервну на відрізку [а,b] і диференційовану на інтервалі (а, b). Тоді знайдеться точка  (а< <b), така що похідна функції в цій точці  дорівнюватиме відношенню , тобто  

Геометрична інтерпретація тео­реми Лагранжа: на інтервалі  знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична є паралельною хорді, що сполучає кінці дуги функції f(x) на відрізку [а,b].

Теорема Коші (пpo кінцеві прирости двох функцій). Не­хай на відрізку [а,b] задано дві функції  і . Якщо ці фун­кції неперервні на відрізку [а, b] і диференційовані на інтервалі (а,b), причому   , то на інтервалі (а,b) існує точка  так що .

Геометрична інтерпретація теореми Коші. Нехай рівняння           (4.1)

є рівнянням кривої, де на функції  і  накладено умови теореми Коші. Теорема Коші ствер­джує існування точки , в якій дотична до кривої (4.1) парале­льна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.

31. Диференціал, похідні та диференціали старших порядків. Формула Лейбниця

Похідною другого порядку функції  в точці х нази­вається похідна від функції  (похідна від похідної першого порядку цієї функції), тобто

Позначення похідної другого порядку: .

Приклад 4. Знайти похідну другого порядку функції

Розв’язання:

.

Відповідь: .

Похідною n-го порядку функцій  називається похідна функції  (похідна від похідної (n-1)-го порядку),

Позначення похідної n-ro порядку:

Приклад 5. Знайти похідну 3-го порядку функції .

Розв’язання

,            .

Відповідь: 0.

4.2. Диференціали вищих порядків

 Диференціалом 2-го порядку функції  в точці х називається вираз  (диференціал від диференціала 1-го порядку функції в цій точці). .

32. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано, Лангранжа.

Формула Тейлора

33. Формула Маклорена для

                                                                                                                            Формула Маклорена

Экспонента :

Натуральный логарифм:

Биномиальное разложение

для всех  и всех комплексных  где

Диференціалом n-го порядку функції  в точці x називається вираз  (диференціал від диференціала (n-l)-ro порядку функції в цій точці)

Приклад 6. Знайти диференціал 3-го порядку функції

Розв'язання

Диференціал 3-го порядку функції знайдемо за формулою

       .

Отже, .

Відповідь: .

1. Диференціал суми двох диференційовних функцій u і v дорівнює сумі диференціалів цих функцій: .

2. Диференціал добутку двох диференційовних функцій u і v визначається за формулою .

3. Диференціал частки двох диференційовних функцій u і v визначається за формулою .

4. Диференціал складеної функції. Нехай , тобто .

Тоді .

; - позначення Лейбніца похідної функції

34. Правило Лопіталя.

Нехай функції і :

1) диференційовні в деякому околі точки а і в цьому околі ;

2) одночасно є нескінченно малими або нескінченно великими в точці а;

3) існує границя відношення похідних цих функцій

Тоді існує границя відношення цих функцій  причому =

Приклад 1. За правилом Лопіталя знайти .

.

Відповідь: .

35. Дослідження функцій за допомогою похідних: умови локального екстремуму, опуклість і точки перегину, асимптоти.

Точки максимуму  і точки мінімуму  назива­ються точками екстремуму. Значення функції в точках макси­муму  та мінімуму  називається екстремумами (мак­симумом і мінімумом) функції.

Критичні точки - це внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов