Метод безпосереднього інтегрування

Якщо в кожній точці інтервалу (a,b) , то на інтервалі (а,b) графік  напрямлено опуклістю вгору (угнутий).

Необхідна умова існування точки перегину

У точках перегину функції  її друга похідна дорівнює нулю або не існує.

Алгоритм дослідження функції на опуклість, угнутість і точки перегину

1. Знайти область визначення і інтервали, на яких функ­ція неперервна.

2. Знайти другу похідну

3. Знайти внутрішні точки області визначення, в яких  або не існує.

4. Позначити одержані точки на області визначення, знайти знак другої похідної функції на кожному інтервалі, на які розвивається область визначення.

5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали опуклості, угнутості і точки перегину).

Пряма L називається асимптотою кривої, якщо відстань б від змінної точки М кривої до цієї прямої прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність.

Пряма х=а називається вертикальною асимптотою кривої y=f(x) , якщо при хоча б одна з односторонніх границь функції f(x) була нескінченною. Таким чином, вертикальна асимптота х = а існує тільки тоді, коли в точці х = а функція f(x) має нескінченний розрив.

38. Інтегрування раціональних функцій (інтегрування елементарних дробів)

Означення: Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж n³m, то дріб неправильний.

Найпростіші раціональні дроби (4 типи):

1.  2.  3.  4.

де k³2, kÎN, D=p²-4q<0

Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:

1) Якщо Q_m(x)=(x-a)^k×g_m-k(x), то:

2) Якщо Q_m(x)=(x²+px+q)^k×g_m-2k(x), то:

де А_і, В_і, – деякі коефіцієнти,  та правильні раціональні дроби.

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.

39. Інтегрування тригонометричних виразів.