Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)

Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в

которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем

вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) .

ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух

непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса

ϕ(x) на [a;b] ограничена.

Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем

f(x)≤d−1M<d .

28. Розриви функцій, класифікація точок розриву. Рівномірна неперервність, теорема Кантора.

Функція , яка не є неперервною в точці  назива­ється розривною в цій точці. Точка  називається точкою роз­риву першого роду функції , якщо існують скінчені од­носторонні границі ,      і при цьому:

·  -  неусувний розрив першого роду;

·  - усувний розрив першого роду.

Точка  називається точкою розриву другого роду фун­кції , якщо одна із односторонніх границь ,   не існує або нескінченна.

3.2.11. Методика дослідження функції  на неперервність

1. Знаходимо точку  - "підозрілу" на розрив.

Це може бути точка, в якій функція невизначена або змі­нює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо , .

4. Робимо висновок згідно з теоремами, або вико­ристовуючи означення точок розриву.

Числова функція речового змінного рівномірно неперервна, якщо

 Тут важливо, що вибір  залежить тільки від величини  .

Теорема Кантора — Гейне в математичному і функціональному аналізі стверджує, що функція, неперервна на компакті, рівномірно неперервна на ньому.

Нехай дано два метричних простори  і  Нехай також дано компактну підмножину  і визначено на ній неперервну функцію   Тоді рівномірно неперервна на .

29. Поняття похідної. Фізична та геометрична інтерпретації. Правила обчислення похідних. Похідні елементарних функцій.