Задание 8. Несобственные интегралы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 13Следующая ⇒

Задание 8. Несобственные интегралы

1. Несобственный интеграл первого рода.

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом конечном промежутке , .

Определение.Несобственным интегралом от функции по промежутку  называют  и обозначают . Если указанный выше предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится и справедливо равенство  = . Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, тогда говорят, что несобственный интеграл расходится.

    Если непрерывна на промежутке , тогда у неё существует первообразная а этом промежутке и из определения несобственного интеграла вытекает практический способ вычисления этого интеграла  =  = = = , где подстановка на  означает что необходимо вычислить . Из сказанного выше следует, что в несобственном интеграле первого рода можно делать замену переменной и интегрировать по частям также, как и в определённом интеграле.

Пример. Вычислим . Произведём в данном интеграле замену переменной . Тогда , , а  = = = (интегрируем по частям ) =

= =  =

+  = . Так как = = 0.

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен .

    Аналогичным образом определяется несобственный интеграл от функции по промежутку , а именно .

    Пример. Вычислим . Интегрируя по частям , получим = = = =  Так как , . Следовательно, рассматриваемый интеграл сходится и равен –1.

Если функция определена на промежутке  и интегрируема на любом конечном промежутке , тогда несобственный интеграл .

Пример. Вычислим . Выделив полный квадрат, полу-

чим , а интеграл = = = =  – .

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров