Таблица производных основных элементарных функций

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 13Следующая ⇒

Таблица производных основных элементарных функций

1. =  (производная степенной функции);

2.  =  (производная показательной функции), в частности  = ;

3.  = =  (производная логарифмической функции), в частности  = ;                     

4.  = ; 

5.  = ; 

6.  = ;

 7.  = = ; 

8.  = ; 

9.  = ;

10.  = ;   

11.  = .

Например, чтобы вычислить производную функции ,

применяем пункт 1 таблицы и получаем .

    Правила дифференцирования.Пусть функции , дифференцируемы в точке , тогда справедливы равенства 1 – 4:

1. (c)′ = 0 (производная постоянной величины равна нулю);

2. (c )′ = c ′ (постоянный множитель можно вынести за знак производной);

3. ( )′ = ′ + ′ (производная суммы равна сумме производных);

4. ( )′ = ′  + ′ (производная произведения двух функций);

5.  (производная частного двух функций).

6. Дифференцирование сложной функции: если функция дифференцируема в точке , = , а функция дифференцируема в точке , тогда функция =  дифференцируема в точке  и справедливо равенство  = .

Пример. Пусть = 2 + .

Вычислим . Из правил дифференцирования и таблицы производных получаем, что = (2)′ + + – ( )′ + = 0 + ( )′  +  –  + + = –  +  =

= +  –  +  = +  –  + +  = +  – + .

Производные более высокого порядка

Определение.Производной второго порядка функции в точке  называют число = , если этот предел существует.

Из определения следует, что вторая производная функции является производной от первой производной, то есть = . Аналогично, третья производная является производной от второй производной и т. д.

Пример.Вычислим вторую производную функции = . Пер-

вая производная = =  = . Вторая производная = + = +  = = .

Дифференцирование функции, заданной неявно.

Принято говорить, что равенство

 = 0                                    (8)

задаёт как функцию , то есть . Для того, чтобы вычислить производную =  необходимо продифференцировать равенство (8) по переменной , считая  функцией .

Пример.Вычислим , если  задана следующим уравнением

.                              (9)

Дифференцируя равенство (9) по  и, используя правило дифференцирования сложной функции, получим, .

Выразив из последнего равенства  через  и , получим  = . Чтобы вычислить вторую производную, дифференцируем последнее равенство по , и получаем

= .

Можно  выразить только через  и , заменив  её выражением через  и .

Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Говорят что равенства

 = ,  = , где ,                              (10)

задают  как функцию  параметрически. Если параметр  есть время, тогда говорят, что равенства (10) задают закон движения материальной точки на плоскости (так как эти равенства позволяют в каждый момент времени  определять координаты точки).

Для вычисления первой и второй производных = , =  используем тот факт, что дифференциал функции равен .

Следовательно, производная  равна частному дифференциалов = = . Аналогично, получим формулу для вычисления второй производной функции по переменной , а именно: = =  =  =  =  = = .

Окончательные выражения для ,  примут вид: = = , =  = = .

    Пример. Пусть функция определена равенствами  = . Тогда из выведенных формул получим = =  = = = , а производная =  =  = =  = .

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте