Экстремум функции двух переменных

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 13Следующая ⇒

Определение.Точка  называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует число

∆ > 0 такое, что для любых точек плоскости , удовлетворяющих неравенству  < ∆, выполняется неравенство  ≤  (  для точки локального минимума).

Необходимый признак экстремума. Если точка  является точкой локального экстремума (точкой локального максимума или минимума) функции  и в этой точке существуют частные производные первого порядка , , тогда  =  = 0.

Точки плоскости, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называют стационарными точками функции . Из необходимого признака экстремума следует, что для отыскания точек локального экстремума функции необходимо сначала найти стационарные точки этой функции.

Например, стационарные точки функции  являются решением системы двух уравнений с двумя неизвестными

Из первого уравнения системы получаем . Подставив это выражение во второе уравнение вместо y, получим равенство , из которого находим два корня = 0, = 1. Первый корень не входит в область определения функции, а по второму корню = 1 находим = –1 и стационарную точку .

Достаточный признак экстремума. Пусть точка  является стационарной точкой функция (  =  = 0), и функция имеет в этой точке непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим A = , B = , C = , ∆ = AC ─ B . Тогда: 1) если A > 0 и ∆ > 0, то  является точкой локального минимума; 2) если A < 0 и ∆ > 0, то  является точкой локального максимума; 3) если  ∆ < 0, то  не является точкой локального экстремума; 4) если A = 0 либо ∆ = 0, тогда требуется дополнительное исследование.

Пример.Найдём точки локального экстремума функции  + . Ранее была найдена единственная  стационарная точка этой функции . Вычисляем частные производные второго порядка в стационарной точке. Имеем,  = ,  = 1,  = . Следовательно, A = = = ─2, B = 1, C = , ∆ = AC – B = 4 – 1 = 3 > 0.

Таким образом, A = – 2 < 0, ∆ = 3 > > 0 и точка  является точкой локального максимума рассматриваемой функции.

Пусть поверхность в пространстве задана уравнением  = 0 и точка  принадлежит этой поверхности, то есть  = =0. Тогда уравнение касательной плоскости, проведенной к этой поверхности в точке , имеет вид

+ + = 0.

В частности, когда уравнение поверхности задано уравнением  z = = , это уравнение можно переписать в виде =  – z = =0. Тогда будет  = ,  = ,  = –1, а уравнение касательной плоскости примет следующий вид

+ –  = 0, где  = .

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением  в точке (–1,2). Находим, что = = 3. В нашем случае  = , следовательно, = , = = . Таким образом, ,  и уравнение искомой касательной плоскости имеет вид . Умножив последнее равенство на 3, и перенося всё в левую часть, получим окончательно .

Задание 6. Определение.Функция  называется первообразной для функции на промежутке , если для любых  выполняется равенство .

Свойства первообразной. 1). Если – первообразная для функции , тогда , где – произвольная постоянная, тоже является первообразной для . 2). Если , – первообразные для функции , тогда = , где – постоянная, 3). Если – первообразная для функции , тогда – первообразная для функции . Например, – первообразная для функции  (так как = ), следовательно, функция  будет первообразной для функции .

Неопределённый интеграл.Из свойств первообразной следует, что множество всех первообразных для функции можно представить в виде , где – одна из первообразных, C – произвольная постоянная.

Определение.Неопределённым интегралом от функции назы-

вается множество всех первообразных для этой функции; неопределённый

интеграл обозначают . Следовательно, = , где

– одна из первообразных. Например, .

Свойства неопределённого интеграла.1). Линейность = =  (постоянный множитель можно вынести за знак интеграла);  = +  (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов). Например, = 2) =  + +C. 2) = (производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции). 3) =  (дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению).

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности