Методические указания к контрольной работе 2

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 13Следующая ⇒

ЗАДАНИЕ 5.

0. Найдите размеры прямоугольного участка наибольшей площади, который можно огородить забором длины L.

1. Найдите размеры аквариума (без верхней крышки), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда объёма V, на изготовление которого требуется наименьшее количество стекла.

2. Для изготовления цилиндрического бака (без верхней крышки) объёма V использовали материалы стоимостью C  (на изготовление дна) и C (на изготовление боковой стенки) рублей за квадратный метр. Какими должны быть радиус основания и высота бака, чтобы стоимость расходованного материала была наименьшей.

3. Найдите размеры ящика (с крышкой), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, наибольшего объёма, который можно изготовить из S м железа.

4. Найдите размеры открытой цилиндрической ванны с полукруглым поперечным сечением и площадью поверхности S м , имеющей наибольшую вместимость.

5. На сфере  найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от двух данных точек A(2,–1,1), B(–1,3,4) была бы наименьшей.

6. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объёма, который можно вписать в полушар радиуса R.

7. Найдите размеры прямоугольника (стороны которого параллельны полуосям) наибольшей площади, который можно вписать в эллипс .

8. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда наибольшего объёма, который можно вписать в прямой круговой конус высоты h и с радиусом основания r.

9. Найдите размеры прямоугольника с периметром P, который при вращении вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объёма.

ЗАДАНИЕ 6.Вычислите данные неопределённые интегралы.

0. а) , б) , в) , г) ;

1. а) , б) , в) , г) ;

2. а) , б) , в) , г) ;

3. а) , б) , в) , г) ;

4. а) , б) , в) , г) ;

5. а) , б) , в) , г) ;

6. а) , б) , в) , г) ;

7. а) , б) , в) , г) ;

8. а) , б) , в) , г) ;

9. а) , б) , в) , г) .

ЗАДАНИЕ 7.Вычислите определённые интегралы.

0. а)              б) ; 

1. а) ,   б) ;

2. а) , б) ; 

3. а) , б) ;

4.а) ,   б) ; 

5. а) ,      б) ;

6. а) ,              б) ; 

7. а) ,      б) ;

8. а) ,      б) ; 

9. а) ,   б) .

ЗАДАНИЕ 8.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

0. а) ,            б) ;  

1. а) ,                 б) ;

2. а) ,                        б) ;  

3. а) ,                б) ;

4. а) ,              б) ; 

5. а) ,       б) ;

6. а) ,             б) ;

7. а) ,                        б) ;  

8. а) ,             б) ; 

9) а) , б) .

   ЗАДАНИЕ 9.

0. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1. Найдите площадь эллипса .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды  и прямой  = 0.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линией , .

5. Перейдя к полярным координатам, найдите площадь фигуры, ограниченной линией .

6. Найдите длину дуги кривой . 7). Найдите длину одного витка винтовой линии .

8. Найдите объём тела, полученного вращением фигуры  вокруг оси OX.

9. Найдите объём эллипсоида .

Задание 1.Это задание относится к теме: «Исследование функции с помощью производной и построение её графика». Для того чтобы построить график функции  необходимо провести исследование основных свойств этой функции по следующей схеме:

1) найти область определения D( ) функции ;

2) найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

3) выяснить, является ли функция чётной или нечётной;

4) выяснить, является ли функция периодической или нет;

5) найти интервалы возрастания (убывания) функции и точки локального экстремума;

6) найти интервалы выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба функции;

7) найти вертикальные и наклонные асимптоты кривой (графика функции ); исследовать поведение функции на границах области определения D( ) (например, область определения логарифмической функции D( ) = (0, +∞); на границе = 0 области определения поведение функции определится в пункте 7), так как прямая = 0 является вертикальной асимптотой и , а на границе +∞ необходимо вычислить  + ∞).

Остановимся подробнее на каждом выше указанном пункте схемы.

1. Областью определения функции называют множество всех значений аргумента , для которых можно выполнить все указанные в функции действия над аргументом. Область определения функции принято обозначать D( ). Например, область определения функции  определяется системой неравенств + 1 ≠ 0, . Эти неравенства эквивалентны неравенствам  либо После объединения решений двух последних систем неравенств получим, что D( ) =

= (– ∞, –1) [0, + ∞).

2. Точка пересечения графика функции с осью OY (осью ординат) имеет координаты (0, ). Чтобы найти точку пересечения графика с осью OX (осью абсцисс) необходимо решить уравнение = 0; если точка – решение этого уравнения, то есть = 0, тогда точка с координатами ( ,0) является точкой пересечения графика функции с осью OX.

 Если уравнение = 0 имеет несколько решений , , , , тогда точки , , , будут точками пересечения графика с осью OX. Найдём, например, точки пересечения графика функции =  с координатными осями. Так как = 2, тогда точка пересечения с осью OY имеет координаты (0,2). Для определения точек пересечения графика с осью OX решим уравнение  = 0, которое эквивалентно квадратному уравнению , имеющему два решения = 1, = 2.

Следовательно, график рассматриваемой функции пересекает ось OX в двух точках с координатами (1,0), (2,0).

3. Определение. Функция называется чётной, если для любых значений аргумента , принадлежащих области определения D( ), выполняется равенство = ; если же для любых  D( ) выполняется равенство = , тогда функция называется нечётной.

Области определения чётной и нечётной функций должны быть симметричны относительно точки = 0, так как вместе с точкой  множеству D( ) принадлежит и точка – . Например, функции ,  являются чётными, так как для них выполняется равенство = , а функции являются нечётными, так как для них выполняется равенство = .

Очевидно, что произведение двух нечётных функций является чётной функцией, а произведение чётной функции на нечётную является функцией нечётной.

Например, функция  является чётной, так как получена умножением двух нечётных функций, а функция  является нечётной как произведение чётной и нечётной функций. Функция  не является ни чётной, ни нечётной функцией, так как её область определения D( ) = (0, +∞) не симметрична относительно начала координат.

Свойства чётности и нечётности функции при построении графиков функций используются следующим образом: график чётной функции симметричен относительно оси OY, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Следовательно, достаточно построить график таких функций для

≥ 0, а затем отобразить симметрично относительно оси OY (для чётной функции) либо относительно начала координат (для нечётной функции).

4. Определение.Функция называется периодической с периодом , если для всех  D( ) выполняется равенство = .

Очевидно, что если число  является периодом функции , тогда числа , где = 0, ± 1, ± 2, , также являются периодами этой функции. Основным периодом функции называют наименьший положительный период этой функции.

Следовательно, основной период функций , ,  равен 2 , а основной период функций ,  равен . Отметим, что если основной период функции равен , тогда основной период функции  будет равен , где .

Действительно, = = = .

Следовательно, по определению периода,  будет основным периодом функции . Отсюда следует, что основным периодом функций  будет число , а основной период функций  буде равен .

Периодичность функции при построении графика учитывают следующим образом: строят график функции на промежутке , или на любом другом промежутке длины , а затем продолжают этот график по периоду на всю область определения.

5. Функция  называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на интервале , если для любых , , таких что , , выполняется неравенство  ( ).

Для того чтобы функция монотонно возрастала (монотонно убывала) на интервале  достаточно чтобы её производная > 0 ( ) для всех значений , за исключением конечного числа точек, в которых . Например, функция  имеет производную  > 0 для всех , а . Следовательно, эта функ-

ция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Определение.Точка  называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует число ∆ > 0 такое, что для любых значений ( – ∆, + ∆) выполняется неравенство  ( ). Точки локального максимума и локального минимума функции  называют точками экстремума этой функции.

Необходимый признак экстремума. Если точка  является точкой экстремума функции и существует производная , тогда = = 0.

    Из необходимого признака экстремума следует, что у дифференцируемой функции точками экстремума могут быть только такие точки, в которых производная этой функции равна нулю. Такие точки называют стационарными точками функции.

Точками экстремума функции могут быть и такие точки, в которых непрерывна, но не дифференцируема. Все точки этих двух типов, которые могут быть точками экстремума, называют критическими точками этой функции.

Например, функция =  непрерывна для любых

(– ∞, + ∞). Производная этой функции = = .

Решив уравнение = 0, найдём единственную стационарную точку . Но так как производная рассматриваемой функции не существует в точках = ± 1 (в этих точках знаменатель дроби равен 0), то у функции, кроме стационарной точки , имеются две критических точки второго типа = ± 1.

Таким образом, для отыскания точек локального минимума и локального максимума функции сначала необходимо найти все критические точки этой функции. Так как не все критические точки в действительности являются точками экстремума функции, необходимо каждую из них проверить на наличие экстремума с помощью достаточных признаков экстремума. Рассмотрим два достаточных признака экстремума.

Первый достаточный признак экстремума. Пусть точка  является критической точкой и существует производная на множестве ( , ) ( , + ∆), где число ∆ > 0.

1. Если > 0 на промежутке ( – ∆, ) и < 0 на промежутке ( , + ∆) (производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку ), тогда точка  является точкой локального максимума .

2. Если < 0 на промежутке ( – –∆, ) и > 0 на промежутке (x , x + ∆) (производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку ), тогда точка  является точкой локального минимума .

3. Если > 0 ( < 0)  на множестве ( , ) ( , + ∆) (производная не меняет знак при переходе через точку ), тогда точка  не является точкой экстремума.

Второй достаточный признак экстремума. Пусть точка  является стационарной точкой (то есть = 0). Тогда: 1) если > 0,  то точка  является точкой локального минимума; 2) если < 0, то точка  является точкой локального максимума .

Пример. Выше было установлено, что функция =  имеет три критических точки  = – 1,  = 0, = 1. Для проверки этих точек на экстремум применим первый достаточный признак экстремума (второй признак не применим к точкам ± 1, так как в этих точках не существует производная = ). Из выражения для производной видно, что знаменатель дроби для всех значений , кроме = ± 1.

Следовательно, производная меняет знак с минуса на плюс в точке = 0 ( < 0 при < 0 и > 0 при > 0), и точка = 0 является точкой локального минимума. На промежутках (–∞,–1) (–1,0) производная отрицательна (функция монотонно убывает), а на промежутках (0,1) (1,+∞) производная положительна (функция монотонно возрастает).

Следовательно, производная не меняет знак при переходе через точки = ± 1, а значит, эти точки не являются точками экстремума.

Так как точка = 0 является стационарной, то для проверки этой точки на экстремум можно применить и второй достаточный признак экстремума. Действительно,  =  – , а =  > 0.

 Следовательно, точка = 0 является точкой локального минимума рассматриваемой функции.

6.Определение.Кривая  называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если она расположена под касательной (над касательной), проведенной к этой кривой в любой точке .

Так как уравнение касательной к кривой в точке  имеет вид , то из определения следует, что кривая выпукла вверх на интервале , если для любых ,  выполняется неравенство < < , и выпукла вниз на этом интервале, если

выполняется противоположное неравенство > .

Справедливо следующее достаточное условие выпуклости вверх (вниз) на интервале: а) если > 0 для любых , тогда кривая выпукла вниз на ; б) если < 0 для любых , то–

гда кривая выпукла вверх на интервале .

Определение.Точка , ) называется точкой перегиба кривой , если кривая меняет направление выпуклости в этой точке. То есть существует число ∆ > 0 такое, что на интервале ( – ∆, ) кривая выпукла вверх (вниз), а на интервале ( , + ∆) выпукла вниз (вверх).

Необходимый признак точки перегиба.Если точка , ) кривой  является точкой перегиба и существует , тогда = 0.

Из необходимого признака следует, что точками перегиба кривой могут быть только точки, в которых = 0 либо вторая производная не существует, а функция непрерывна.

Достаточный признак точки перегиба. 1). Если < 0 (  >

> 0) для всех ( – ∆, ) и > 0 ( < 0) для всех  ( , + ∆), тогда точка  является точкой перегиба кривой. 2). Если < 0 ( > 0) для всех ( , ) ( , + ∆), тогда точка  не является точкой перегиба кривой .

Пример. Найдём точки перегиба кривой . Находим,  

=  = , а  = = .

Так как вторая производная существует для любых , то точками перегиба могут быть только точки, в которых = 0. Последнее уравнение имеет три корня  = ,  = 0, = . Так как  < 0 при (–∞, – ),  > > 0 при (– , 0),  < 0 при (0, ),  > 0 при ( , +∞), то рассматриваемая кривая выпукла вверх на множестве (–∞,– ) (0, ) и выпукла вниз на множестве (– , 0) ( , +∞), а точки = ─ , = 0,  =  являются точками перегиба кривой.

7. Определение.Прямая линия  называется вертикальной асимптотой кривой (графика функции ), если хотя бы один из односторонних пределов , равен ∞.

Например, прямая 0 является вертикальной асимптотой кривой , так как правосторонний предел = .

Функция =  имеет две вертикальные асимптоты  ± 1, так как пределы . Для более точного представления о поведении кривой при её приближении к асимптотам вычислим односторонние пределы. Имеем, предел слева = , предел справа  = ; для вертикальной асимптоты 1 левосторонний предел  = , а правосторонний предел = .

Определение.Прямая линия , заданная уравнением , называется наклонной асимптотой кривой  при  (при ), если расстояние от точки этой кривой до прямой  стремится к нулю ( ) при  (при ).

В случае , то есть асимптота имеет уравнение , её принято называть горизонтальной асимптотой. Отыскание наклонных асимптот основано на следующей теореме.

Теорема. Прямая линия , заданная уравнением , является наклонной асимптотой кривой  при  (при )  а) существует (существует ), б) существует  (существует ).

Пример.Найдём наклонные асимптоты кривой . Сначала ищется угловой коэффициент прямой  =  = =  =  = 1. После того, как найден коэффициент k = =1, находим коэффициент  = = =  =  = 0. Вычисление коэффициентов  асимптоты проведено при , так как вычисляемые пределы одинаковы как при , так и при . Таким образом, рассматриваемая кривая имеет при  и  одну и туже наклонную асимптоту .

Задание 2.При вычислении пределов функций возникают семь типов неопределённостей , , [o∙∞], , , , [∞ ─ ∞]. Неопределённости первых двух типов возникают при вычислении пределов вида , когда числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к 0 или ∞, то есть  либо = =  (возможно  = ∞). Такого рода неопределённости непосредственно раскрывает следующая теорема.

Теорема (Лопиталя). Пусть выполнены следующие условия:

1) функции ,  дифференцируемы на интервале ;

2)  ≠ 0 на ;

3)  либо ;

4) существует .

Тогда существует .

Теорема сформулирована для случая левостороннего предела , . Утверждение этой теоремы остаётся верным и в случае правостороннего предела , . Возможно также, что .

Пример. Вычислим . Видно, что  

= = 0.

Следовательно, =  =   = – 1.

Пример.Вычислим . Применив правило Лопиталя (числитель и знаменатель дроби стремятся к +∞ при ), получим

= = = = = 0.

Раскрытие неопределённости  [o∙∞]. Такого рода неопределённость возникает при вычислении предела вида , когда , . В этом случае исходный предел преобразуют к одному из двух видов  либо . В первом случае  и  при x → a (неопределённость типа ), а во втором случае  и  при  (неопределённость типа ). Затем, применяя правило Лопиталя, получают  =  = =  либо =  = .

Пример.Вычислим . Так как , а , то имеем неопределённость типа [o∙∞]. Здесь удобнее отправить в знаменатель , так как  = . Таким образом,

 =  =   =  = .

Раскрытие неопределённостей , , . Такие неопределённости возникают при вычислении пределов вида . Если ,  при x → a, то возникает неопределённость . Если  то возникает неопределённость . Если же основание степени , а показатель степени  при , то возникает неопределённость типа . Для раскрытия таких неопределённостей представим данный предел в виде = =  (так как по основному логарифмическому тождеству ). Во всех трёх случаях в показателе степени возникает неопределённость типа [o∙∞], так как один из сомножителей стремится к 0, а другой сомножитель стремится к ∞ при . Вычислив, как было показано в предыдущем пункте, , затем вычисляют .

Пример.Вычислить . Так как  =  = 0, то имеем неопределённость  и  = . Вычислим сначала предел показателя степени = =  = (так как имеем неопределённость ) = =  =  =  = 0.

Следовательно,  = = 1.

Раскрытие неопределённости типа [∞ – ∞]. Такого рода неопределённость раскрывается сведением к неопределённостям первых трёх типов тождественными преобразованиями.

Пример.Вычислить . Приведя дробь под знаком 

предела к общему знаменателю, получим  = =  = (неопределённость вида ) =  = =  =  = (так как числитель и знаменатель стремятся к 0, то ещё раз применяем правило Лопиталя) = = =  = .

Задание 3. Рассмотрим функцию трёх независимых переменных . Обозначим , ,  приращения аргументов . Разности  =  – , = – , = –  называют частными приращениями функции , соответствующими приращениям аргументов , , .

Определение.Частной производной первого порядка функции по переменной  в точке называют предел отношения частного приращения  функции по переменной  к приращению аргумента  при .

Эту частную производную обозначают  или . Следовательно, =  = . Аналогично определяются частные производные первого порядка по переменным ,  а именно, = , = . Из определения частной производной  видно, что при её вычислении изменяется только переменная , а переменные ,  остаются постоянными. Отсюда вытекает правило вычисления частной производной по переменной : при вычислении  необходимо рассматривать функцию  как функцию одной переменной , считая переменные ,  постоянными. Аналогично, при вычислении функцию рассматривают как функцию одной переменной , а переменные ,  считают постоянными. При этом используются правила дифференцирования функции одной переменной.

Пример.Вычислим частные производные первого порядка функции = . При вычислении  данная функция является степенной (  переменная, а ,  являются постоянными), а при вычислении  и  функция является показательной (основание степени  является постоянной). Следовательно,  =  = ,  =  = = = ,  =  =  = .

Частные производные более высокого порядка. Из последнего примера видно, что частные производные первого порядка являются функциями  и следовательно, эти функции можно также дифференцировать по переменным . Эти производные называют частными производными второго порядка и обозначают = ,  = ,  = . Аналогично, частную производную первого порядка  можно дифференцировать по переменным , а именно,  = ,  = ,  = . Дифференцируя  по переменным , получаем частные производные второго порядка = ,  = ,  = . Следовательно, функция трёх переменных  имеет девять частных производных второго порядка, но некоторые из этих производных совпадают. Справедлива следующая теорема о смешанных производных.

Теорема. Если функция многих переменных  имеет непрерывные частные производные второго порядка , (их называют смешанными производными второго порядка), тогда эти производные равны, то есть  = . Из теоремы следует, что у функции трёх переменных  равны следующие пары смешанных производных = , = ,  = .

Пример. Вычислим частные производные второго порядка функции  = . Частные производные первого порядка вычислены в предыдущем примере  = ,  = ,  = .

Имеем,  =  = ,  = =  = =  = ,  = = = =  = ,  = = = =  = ,  = =  =  =  =  + ,  =  =  = = = .

Задание 4.Градиентом функции в точке  называют вектор из частных производных  +  +  и обозначают . Вычислим, например, градиент функции = =  в точке . Вычислим сначала частные производные = = ,  = ,  =

= . Далее, вычислив значения этих производных в точке M,

получим , ,    = .

Следовательно,  =  + .              Производная функции  в точке  по направлению вектора  +  +  обозначается  и определяется следующим равенством:

 = ∙  =  +  + ,

в правой части которого стоит скалярное произведение градиента и единичного орта вектора . Понятие производной по направлению вектора является естественным обобщением понятия частных производных. Действительно, = = ∙  = . То есть частная производная по переменной равна производной по направлению единичного орта  оси OX.

Вычислим производную по направлению вектора  = (–2, 1, 2) функции  =  в точке . Длина этого вектора = , единичный орт вектора  = .

 Следовательно,  =  +  = .

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология