Задания к контрольной работе 2

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 13Следующая ⇒

Дифференциал и его свойства

    Из определения производной функции  в точке  следует, что =  или = 0. Обозначим , где  при . Из последнего равенства находим, что = =  + . Обозначив , из последнего равенства окончательно получим = , где  при . При фиксированном  выражение  является линейной функцией одной переменной  и называется дифференциалом функции , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал обозначают   или кратко .

Следовательно, по определению, = . Так как , то дифференциал принято записывать в инвариантной форме = .

    Пример.Вычислим дифференциал функции  при =1, = 0,1. По определению дифференциала = = = . В точке =1 получаем , а для = 0,1 будет = (3,5)(0,1) = 0,35.

    Перечислим основные свойства дифференциала.

1. , где C – произвольная постоянная.

2. .

3.

4. .

5. Инвариантность формы дифференциала. Если  является независимой переменной, тогда = . Если же зависимая переменная, то есть , тогда, по правилу дифференцирования сложной функции,  (так как  = ). Следовательно, форма дифференциала не зависит от того, является ли независимой или зависимой переменной.

ЗАДАНИЕ 1.Построить график функции

0. ; 1. ;  2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

8. ;  9. .

ЗАДАНИЕ 2. Вычислить данные пределы по правилу Лопиталя

0. а) ,               б) ; 

1. а) ,                    б) ;  

2. а) ,                   б) ;

3 а) ,                 б) ;  

4. а) ,                       б) ;  

5. а) ,                                 б) ;

6. а) ,            б) ;  

7. а) ,                  б) ; 

8. а) ,                б) ;

9. а) ,     б) .

ЗАДАНИЕ 3. Вычислите частные производные второго порядка функций.

0. ;          1. ;      2. ; 

3. ; 4. ;                  5. ; 

6). ;   7. ;    

8. ; 9. .

ЗАДАНИЕ 4. Дано: функция , точка и вектор .

Требуется: 1) вычислить градиент и производную функции  по направлению вектора  функции в точке ; 2) составить уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке , ; 3) найти точки локального экстремума функции .

0. , (–1,2), ; 

1. , (2,1), ;

2. , (1,1), ; 

3. (0,1), ;

4.  + , (1,–1), ;

5. , (2,–3),  + ;

6. , М (1,1), ;

7.   + , (–1,3), ;

8. , (–2,1), ; 

9. , (–1,–2), .

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология