Пример.Для вычисления  воспользуемся замечательными пределами а) и д).

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 13Следующая ⇒

Пример.

= = = .

3. Если числитель или знаменатель дроби содержит выражение вида , то для раскрытия неопределённости необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на сопряжённое .

Пример.

= =  =

= = == = .

4. Вычисление пределов функции с помощью замечательных пределов: а) , б)  в) , 

г)  д) .

Пример.Вычислим предел  с использованием первого

замечательного предела а). Имеем = = = 8 8

=

Пример.Пусть требуется вычислить . Для этого используем замечательные пределы в) и г). Имеем,  = = = (так как  при ) =  = =  =  = = = .

Действительно,  = =  = = = = .  

Обозначим  при .

Тогда получим 2  = 2  = = , так как  = 1.

Если требуется вычислить а ,  =  тогда говорят, что имеет место неопределённость типа . Для раскрытия такой неопределённости используется замечательный предел б).

Пример.Вычислим . Так как = 1, а 1–  при , 

то имеет место неопределённость типа .

Далее,  = 1 + .

Обозначим  при .

Тогда , а . Данный предел примет вид =1+ аат место неопределённо ( = = , так как .

Задание 9. Это контрольное задание относится к теме: «Непрерывность функции, точки разрыва и их классификация». Рассмотрим основные понятия, относящиеся к этой теме.

Определение.Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в некоторой окрестности точки  (то есть можно вычислить значения функции для всех значений ( – δ, + δ), где δ есть некоторое положительное число); 2)существует  = .

Если функция  непрерывна в каждой точке множества X, тогда говорят, что функция  непрерывна на множестве X.

Определение.Точка называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в этой точке.

Из определения точки разрыва следует, что если не определена в точке , тогда точка  является точкой разрыва этой функции. Например, функция  =  не определена в точке 0, следовательно, 0 является точкой разрыва этой функции.

Из определения также следует, что  является точкой разрыва функции, если не выполняется условие 2) определения непрерывности. Развернём подробнее условие 2), используя понятие односторонних пределов. Левосторонний и правосторонний пределы функции при →  обозначают так: , и, по определению,  =  (  стремится к , оставаясь меньше ), =  (  стремится к , оставаясь больше ). Условие 2) будет равносильно следующему условию: существуют односторонние пределы , и выполняются равенства = = . Следовательно, точка будет точкой разрыва, если хотя бы одно из условий 2) не будет выполнено.

Определение.Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют односторонние пределы , и ≠ либо = ≠ . При этом число –  называют скачком функции в точке .

Определение.Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов ,  не существует или равен бесконечности.

Пример.Функция  не определена в точке 0, а значит, 0 является точкой разрыва этой функции. Чтобы выяснить тип точки разрыва, вычислим односторонние пределы , . Так как , а , если , то имеем  = =1. Аналогично, так как , а , если , то  = = =0.

Следовательно, точка 0 является точкой разрыва первого рода данной функции, так как 1= ≠ = 0. Скачок функции в этой точке равен – = 0 – 1 = – 1.

Пример. =  

Проверим непрерывность этой функции в точке 0. Так как существует (первый замечательный предел) =1, тогда, по теореме об односторонних пределах, существуют односторонние пределы ,  и справедливы следующие равенства =    =  = 1 ≠ 0 = .

Следовательно, точка 0 является точкой разрыва первого рода рассматриваемой функции, так как = = 1 ≠ 0 = .

Пример. = . Рассматриваемая функция не определена в точке 0, а значит 0 – точка разрыва . Вычислим односторонние пределы , . Имеем, = =0, = =

= +∞. 

Так как правосторонний предел = +∞,то точка 0 является

точкой разрыва второго рода.

Выделим теперь основной класс непрерывных функций. Справедливо утверждение, что все элементарные функции (степенная , показательная , логарифмическая , , , , , , , , ) непрерывны в своей области определения. Например, функция  определена на множестве (0,+∞),а значит и непрерывна на этом множестве.

Перечислим основные свойства непрерывных функций. Пусть функции  и непрерывны в точке .

 Тогда: 1) функция C , где C есть постоянная, непрерывна в точке ; 2) + непрерывна в точке ; 3) непрерывна в точке ; 4)  непрерывна в точке , если ≠ 0; 5) непрерывность суперпозиции двух функций (сложной функции): если функция  непрерывна в точке , =  = , а функция  непрерывна в точке , тогда функция = =  непрерывна в точке .

 Из непрерывности основных элементарных функций и свойств непрерывных функций следует, что сумма, произведение и частное двух элементарных функций непрерывна в своей области определения. Например, функция +  непрерывна на множестве (0, +∞); функция  непрерывна в своей области определения (0,+∞) как частное двух элементарных функций. Функция  определена на промежутке (–1, 1), а значит и непрерывна на этом промежутке.

Пример.Исследовать на непрерывность функцию

=

Отметим, что во всех точках, кроме точек 1, 3, функция непрерывна как элементарная функция. Точки 1, 3 могут быть точками разрыва потому, что слева и справа от них функция задаётся разными аналитическими выражениями, а именно, =  для < 1 и =  для  > 1. Вычислим односторонние пределы в этих точках.  Имеем,  = = = 1, = = = = 1, = 2 ─ 1= 1.

Следовательно, = = = 1, а значит, рассматриваемая функция непрерывна в точке 1. Для точки 3 имеем, =  = = –1, = = = = 1, а = 2 – 3= –1.

Следовательно, ≠ и точка 3 является точкой разрыва первого рода рассматриваемой функции.

Задание 10.Это задание относится к теме: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Основным понятием этой темы является понятие производной функции.

Определение.Производной функции  в точке  называется число = , если этот предел существует; если в точке  существует производная , тогда говорят, что функция дифференцируема в точке ; если функция дифференцируема на множестве X, то функция называется дифференцируемой на множестве X.

Разность  –  называют приращением аргумента, а разность ––  называют приращением функции, соответствующим приращению аргумента – . Если обозначить приращение аргумента ∆ =  – , тогда производная, в эквивалентной форме, определится так = = .

Вычислим производную функции =  в точке . По определению имеем, =  =  = = =   = .

Из определения производной функции и замечательных пределов получают производные основных элементарных функций.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману