Прямоугольные координаты - x, y, z .

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dx dy f(x,y,z) dz                     ( 17 )

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z₁(x,y) , z = z₂(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a  x  b , y₁(x)  y  y₂(x) ,тогда

f(x,y,z) dx dy dz =  dxdy f(x,y,z) dz = 

= dx dy f(x,y,z) dz        ( 18 )

r = |ON|                                                           r = |OM|

j = (ON^Ox)                                                  j = (ON^Ox)

q= (OM^Oz)

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним :   x = r cos j , y = r sin j , z = z , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r₁(j ) , r = r₂(j ) ,  .Тогда

f(x,y,z) dv = rdrdj f*(r,j,z) dz = f*(r,j,z) dz    ( 19 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z₁* = z₁(r cosj, r sinj) , z₂* = z₂(r cosj, r sinj) .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x² + y² + z² £ R² пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r² sinq dr dj dq       ( 20 )

Пр.5 Вычислить J = z dv ,где V: 0 £ x £ ½ , x £ y £ 2x , 0 £ z £ .

J = dx dy z dz , J₁ = z dz = ½ (1 – x² – y²),

J₂ = ½ (1 – x² – y²)dy = ½ [(1-x²)y – y³] |_x^2x =

= ½(x-  x3),       J = ½ ( x -  x3)dx = 7/192  

  Пр. 6 Вычислить J = x2 dx dy dz ,где V - шар x2 + y2 + z2 £ R2 .

J = { x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q } = r⁴sin³q cos²q drdjdq =

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов