Тема :   Интегрирование функций нескольких переменных.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 8Следующая ⇒

Казанский государственный энергетический университет

Кафедра «Высшей математики»

Опорные конспекты лекций.

Тема :   Интегрирование функций нескольких переменных.

Двойной интеграл и его свойства.

Метод интегральной суммы.

Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Опр.Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р,который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы      P = p_i. Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.

Алгоритм метода интегральной суммы.

1. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .

2. Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра p_{i .}

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам                                     P(n) =  p_i

4. Переход к пределу lim P(n) = P  при n  дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы 

Опр.Интегральной суммой  наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра,определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .

Опр. Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.

Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.

Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)  0 , которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура D .Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.

1. Операция разбиения. Разделим область Dсеткой кривыхна n частей D₁, D₂, . . . , D_n,имеющих площади s_i .В каждой фигуре D_iвыделим некоторую точку ( ) и на на высоте f( ) проведем над D_i плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.

2. Объем элементарного цилиндра над D_i  равен f( ) s_i .

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология