S = dxdy = = ½  = ½ tgj |0j/4 = ½

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

j = arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J =   = r                                                     ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x² + y² .

D –круг радиуса R f(x,y) dxdy =                 ( 12 )

D –круговой сектор f(x,y) dx dy =

D –криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r(j ) ,

f(x,y) dx dy =     ( 13 )

D –криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r₁(j ) , r = r₂(j ) ,

f(x,y) dx dy =    ( 14 )

Пр. 1 Вычислить площадь круга. S =  dxdy =   =j  r²/2  = pR²

Пр. 2 Вычислить площадь D ,если ¶D : y = x , y = 0 , x = 1 . 

Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

х = 1 Þ r cosj = 1 Þ r = 1 / cosj .

Углы сектора определяем из чертежа : 0 £ j £ p/4

S = dxdy = = ½  = ½ tgj |0j/4 = ½

Пр. 3 Вычислить площадь леминискаты  (x² + y²)² = 2a² (x² – y²) .

Линия симметрична относительно осей, т.к. уравнение не меняется при замене x ® - x , y ® - y ,  пересекает ось Ох при

 х = ± а и проходит через начало координат. S = 4 dxdy .Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение : (r²cos²j + r²sin²j)² = 2a²(r²cos²j - r²sin²j) Þ

Þ r2 = 2a2 cos 2j Þ   r = a .

Углы сектора получаем из условий: r = а Þ j₁ = 0 ; r = a  = 0 Þ j₂ = p/4

S= 4 = 4a²  = 2a²

Пр. 4 Вычислить площадь D ,если ¶D :          (x² + y²)² = 2a x³

Линия симметрична относительно оси Ох, т.к. уравнение не

меняется при замене y ® - y,пересекает ось Ох при x = 0,

 х = 2а и х ³ 0. S = 2 dxdy.Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение: r =2a cos³ j .Углы сектора получаем из условия: r = 2a cos³j = 0 Þ j = ± p/2

S = 2 = 4а²  = 5/8 p а²

Поверхности второго порядка.

Общий вид уравнения поверхности в R³ : F(x,y,z) = 0 .Уравнение гладкой поверхности - z = f(x,y) , где каждой точке области определения функции (x, y)отвечает одна точка поверхности с координатой z . Замкнутые поверхности не являются гладкими.

Цилиндрическая поверхность. Её образуют прямые параллельные данному направлению (образующие), которые пересекают некоторую линию L(направляющую).

 Если образующей служит ось координат, то в уравнении F(x,y,z) = 0такая координата отсутствует и уравненияF(x,y) = 0, F(x,z) = 0, F(y,z) = 0в координатных плоскостях определяют направляющие линии. Если линиями L служат кривые 2 порядка, то имеем цилиндрические поверхности 2 порядка – круговой цилиндр, эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США