J = dx xy dy ,           Jв = y dy = ½ (x – x4)

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

J = dx xy dy ,           Jв = y dy = ½ (x – x4)

J = ½ (x2 – x5) dx = ½ (x3/3 – x6/6) |01  = 1/12

Преобразования плоских областей.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Имеем плоскость с прямоугольной системой координат хОу и систему непрерывных функций

u = u(x,y)

v = v(x,y)                                                              ( 6 )

Для каждой точке плоскости (x_i,y_i) получаем два числа (u_i,v_i) , которые можно понимать как координаты другой точки. Выделим в xOy область D, ограниченную замкнутым контуром ¶D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (u_i,v_i). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром ¶D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и у

x = x(u,v)

y = y(u,v)                              ( 7 )

и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.

Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения ( 1 ) осуществляют преобразование области D  в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.

Двойной интеграл.

 В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | =                                                           ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv                     ( 9 )

В полярной системе координат переменные r , j имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.

                         ( 10 )

Обратное преобразование : r = , 

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология