Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма

V(n) =  f( ) s_i                                                                      ( 1 )

4. С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n , при стремлении наибольшего из диаметров D_i к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса

V = lim  f( ) si  = f(x,y) dx dy                          ( 2 )

n

Опр.  Двойным интегралом от функции f(x,y) по областиDна плоскости хОуназ. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.

Основные свойства двойного интеграла.

1. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = а f(x,y) dx dy

           т.к. общий множитель членов интегральной суммы  можно вынести за скобку.

2. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy + g(x,y) dx dy

          т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования.         Если D = D₁ + D_{2 ,} то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D

S = dx dy

5. Теорема о среднем.         f(x,y) dx dy = f( ) S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования Sна значение функции f( )в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V, т.е. f( ) = V/S. Точка с координатами ( ) всегда существует в области D.

Вычисление интегралов.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dx f(x,y) dy                                                            ( 3 )

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a  x  b , y₁(x) y y₂(x) )

        Это область правильная в направлении Оу

f(x,y) dx dy = { f(x,y) dy } dx                                                       ( 4 )

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c  y  d , x₁(y) x x₂(y) )

Это область правильная в направлении Оx

f(x,y) dx dy = { f(x,y) dx } dy                                                      ( 5 )

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

Пр. J = xy dx dy , где D ограничена кривыми: y = , y = x² 

Решение: Строим графики двух парабол. Точки их пересечения находим из решения системы этих двух уравнений : =х²  (0; 0) , (1; 1). D - правильная в обоих направлениях. Выберем пределы интегрирования : 0  x  1 ; x²  y ,тогда

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности