Примеры решения задач. Пример1. (Кинематика точки). Решение.. Расчёт абсолютного ускорения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11

§20. Примеры решения задач

Пример1. (Кинематика точки)

- 1

Точка М совершает плоское движение согласие уравнениям X = 4t³ -1, V = 2t, см. Установить вид траектории точки и для момента времени t =1с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорении, а также радиус кривизны траектории.

                                      Рис1.

                               Решение

Для нахождения уравнения траектории необходимо исключить время из уравнений движения.

Имеем:      ;

Траекторией точки является парабола ( Рис1.) которая строиться по точкам. Положение точки Мна траектории в момент времени t=1c определяется по её координатам.

         Х=4×1² –1 = 3см;                             Y=2×1=2см;

Скорость точки М в момент времени t=1c определяется по формулам:

        Поскольку V_x >0, то вектор скорости точки М направлен по касательной к траектории в положительном направлении с оси OX.

       Ускорение точки М в момент времени t=1c определяется по формулам:

Модуль касательного ускорения точки:    

Нормальное ускорение точки:

Радиус кривизны траектории:     

Пример 2(Вращательное движение тела)

Зубчатые колеса 1 и 2 (рис.2), находятся в зацеплении и приводятся во вращательное движение с помощью груза М, который опускается по закону X=30t²  см. для момента времени t=1c рассчитать :

Решение.

Скорости груза М и точки А определяются по формуле

Угловая скорость колеса и скорость точки В:

Угловая скорость и угловое ускорение колеса 2 в момент времени t=1c будут:

R₁=2r₁=10cм

                                                                                                     R₂=15cм

                                               Рис2.

Скорость и ускорение точки С в момент времени t=1c рассчитывают так:

Пример 3а(Плоское движение тела)

Кривошип О₁А= =0,4м плоского механизма вращается вокруг оси О, и посредством шатуна АВ = =1,4м приводит в движение ползун В, который перемещается в вертикальных направляющих. Другой шатун DЕ=  =1,2м одним концом соединен в точке D, которая находится в середине шатуна АВ, с шатуном АВ, а другим - с ползуном Е, который перемещается в неподвижных вертикальных направляющих.

Положение механизма определяется углами, заданными на чертеже. В данный момент величина скорости равна У_в = 4м/с, а ее направление показано на чертеже.

Для заданного положения механизма:

1.Построить мгновенные центры скоростей шатунов АВ и DE.

2.Определить скорости V_A и V_E и угловую скорость шатуна АВ.

Решение задачи начинается с построения механизма с точным

соблюдением заданной геометрии (углов).

AD=DB

Рис.3

1. Расчёт скорости точки А проводим по теореме проекций .скоростей

2. Расчёт угловой скорости звена АВ,

Строим МЦС звена АВ но общим правилам. Получаем точку

Тогда:

3. Расчёт скорости точки Е.

Вначале определяем скорость точки D ;

По теореме проекций скоростей имеем:

;          V_E =V_D =2м/с.

4. Построение МЦС звеньев АВ и DE .

Проводится по общим правилам построения МЦС. Дня звена АВ :

проводим перпендикуляры к скоростям точек В и А. Точка пересечения их и есть МЦС звена АВ. Это точка Р_АВ. Для звена DE : проводим перпендикуляры к скоростям точек D и Е. Точка пересечения их и есть МЦС звена DE . Это тачка Р_DE.

Направления угловых скоростей звеньев   и     определяются по направлениям линейных скоростей точек    и ,

Пример Зв (Плоское движение тела)

Колесо радиусом R = 0,5 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути (Рис. За ). В рассматриваемый момент времени скорость центра колеса V₀ =2м/с , а ускорение w₀ = 1м/с²; Рассчитать: угловую скорость колеса, скорости точек А, В. С, Р и ускорение точки В.

                Расчёт скоростей

При качении без проскальзывания в точке Р
скорости колеса и поверхности пути одинаковы,
следовательно V_P = 0, т.е. точка Р является
мгновенным центром скоростей. Это означает, что в
данный момент времени колесо совершает мгновенно- вращательное движение вокруг МЦС

(Рис.3в) и можно записать так:

                                                Рис.3в

Расчет ускорения

Расчет ведется методом полюса. За полюс выбирается точка О, т.к. ее ускорение известно. Согласно теории полюса можно записать:

                                            (1)

Осестремительная составляющая ускорения направлена к полюсу и рассчитывается по формуле:

Вращательная составляющая ускорения рассчитывается по формулам:

Направляется      перпендикулярно OB в сторону вращения, т.к. оно ускоренное.

    Для расчета W_B в точке В изображаются все векторы, входящие в (1). Вводятся координатные оси и соотношение (1) проектируется на них, учитывая построения рисунка За. Имеем:

Пример 4 (Сложное движение точки)

Трубка совершает вращательное движение в плоскости чертежа вокруг оси, проходящей через точку О (рис 4), с угловой скоростью Вдоль трубки движется точка по закону x = 2-t²см. Для момента времени t = 1с с начала движения, рассчитать абсолютные скорость и ускорение точки М.

Рис4.

Расчёт абсолютной скорости

Используется теорема сложения скоростей:    

Относительным движением точки является прямолинейное движение вдоль трубки по закону х = 2 • t², тогда:

Переносным движением для точки М является вращательное движение трубки. В момент t = 1с точка будет находиться на расстоянии от оси

ОМ= x₁ = 2·1² =2см и её переносная скорость рассчитывается по формуле:

Построение абсолютной скорости приведено на рисунке 4а. Её величина определяется так:

Используется теорема сложения ускорений:

                                                                                                                 (1)

При прямолинейном относительном движении    определяется так:

При вращательном переносном движении    рассчитывается по формулам:

В рассматриваемом случае  и выполняется:

Ускорение Кориолиса рассчитывается по формуле:

В рассматриваемом случае:

Построение абсолютного ускорения приведено на рисунке 4в. Для расчета W_a в точке М строятся оси X, Y, Z и соотношение (1) проектируется на оси с учетом построения (рис.4в):

W_c = W_rx+W_еx+W_cx = 4-8+0 = -4 см/с²

 Тогда

Ответ:

      V_a=8,9см/c                  W_a=32,3см/c²

СОДЕРЖАНИЕ

      Введение

§1.Основные понятия и определения..................................................……….....

§2.Кинематика точки. Способы задания движения точки................……….....

§3.Скорость и ускорение точки............................................................………....

§4.Расчет скорости и ускорения точки при координатном задании движении.............................................................................................………

§5.Расчет скорости и ускорения точки при естественном задании движения..............................................................................................………

§6.Поступательное движение твердого тела........................................………..

§7.Вращательное движение твердого тела. Основные понятия и определения.........................................................................................……

§8.Расчет скоростей и ускорений точек вращающегося тела............…………

§9.Плоское движение твердого тела. Основные понятия и определения......................................................................................................

§10.Разложение плоского движения на поступательное и вращательное...................................................................................................

§11.Расчет скоростей точек тела при плоском движении методом полюса........................................................................................................…

§12.Мгновенный центр скоростей (МЦС).............................................……….

§13.Расчет скоростей при плоском движении с помощью МЦС.......………..

§14.Расчет ускорений точек тела при плоском движении методом полюса...................................................................................................……

§15.Сложное движение точки. Основные понятия и определения.....……….

§16.Теорема сложения скоростей............................................................………

§17.Теорема сложения ускорений............................................................………

§18.Краткие задачи и вопросы по кинематике…………………………………

§19Характерные задачи кинематики……………………………………………

§20.Примеры решения задач..........................................................……………...

                                           ЛИТЕРАТУРА

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая
школа, 1968.-48GC.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.- М.: Высшая школа,
1990.- 606 с.

3. Быть М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика
в примерах и задачах. Ч.I. - М.: Наука, 1977. - 504 с.

4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.:
Наука, 1986,-448 с.

5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике
/Под редакцией А.А.Яблонского. - М.: Высшая школа, 1985. - 367 с.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?