Тема: застосування квадратичних форм до дослідження алгебраїчних рівнянь другого степеня

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 17Следующая ⇒

Лекція 4

План:

1. Квадратична форма у двовимірному просторі та її застосування до дослідження рівнянь кривих другого порядку.

2. Інваріанти рівнянь кривих другого порядку.

Короткий зміст лекції:

Розглянутий вище метод ортогонального перетворення, який зводить квадратичну форму до канонічного виду, ефективно застосовується при дослідженні алгебраїчних рівнянь другого степеня з n невідомими:

,

(1)

де  – квадратична форма.

Нехай  – деякий евклідовий простір з ортогональним перетворенням . Невідомі  в рівнянні (1) будемо інтерпретувати як координати векторів  в ортогональному базисі .

Нехай – множина елементів , одержана зсувом на вектор , тобто , де – фіксований вектор . Тому координати векторів  і  в ортонормованому базисі  пов’язані співвідношенням .

Тоді рівняння (1) можна розглядати як алгебраїчні рівняння другого степеня відносно координат векторів  з .

У просторі  завжди можна знайти новий базис , в якому квадратична форма  приймає канонічний вид, а тому і множину  так, що рівняння (1), яке розглядається відносно координат векторів  в базисі , має найбільш простий вид.

Щоб це зробити, треба, по-перше, здійснити ортогональне перетворення координат, яке зводить квадратичну форму  до канонічного виду, і, по-друге, у перетвореному рівнянні звільнитися від лінійних членів, виділивши повні квадрати.

При n = 2 квадратична форма  має вид:

.

Ортогональним перетворенням невідомих вона зводиться до канонічного виду:

,

тобто до суми квадратів координат векторів  в деякому базисі .

Якщо  і  одного знаку, то квадратична форма  належить до еліптичного типу, якщо  і  різних знаків, то – до гіперболічного типу, якщо одне з чисел  або  дорівнюють 0, то – до параболічного типу. Для знаходження базису, в якому квадратична форма  має канонічний вид, необхідно знайти власні вектори , , які відповідають власним значенням  і  перетворення А, породженого симетричною матрицею А квадратичної форми .

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?