Алгоритм зведення квадратичної форми до канонічного виду методом Лагранжа.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 17Следующая ⇒

Передмова

Курс "Лінійна алгебра", який читається в третьому семестрі, передбачає використання методів та знань з лінійної алгебри в прикладних питаннях, а саме в дослідженні загальних алгебраїчних рівнянь ліній та поверхонь другого порядку, знаходженні невід’ємних розв’язків системи лінійних нерівностей, розв’язуванні задач лінійного програмування.

Тому метою даного навчально-методичного посібника є систематизація матеріалу з деяких прикладних питань математики та їх розв’язування.

Тематичний розподіл матеріалу на ІІІ семестр

№ п/п

Назва розділу

Кількість годин

Лекції

Практика

1.

Квадратичні форми

2.

Квадратична форма у двовимірному просторі та її застосування для дослідження загальних рівнянь кривих ІІ порядку

3.

Квадратична форма у трьохвимірному просторі та її застосування при дослідженні загальних рівнянь поверхонь ІІ порядку

4.

Системи лінійних нерівностей

5.

Задачі лінійного програмування

Лекція 1

Тема: Квадратичні форми

План:

1. Означення квадратичної форми, її матриця та ранг.

2. Лінійне перетворення невідомих в квадратичній формі.

3. Основна теорема про квадратичні форми.

Короткий зміст лекції:

Означення.Квадратичною формою називається однорідний многочлен другого степеня від невідомих .

Квадратична форма  називається дійсною (комплексною), якщо її коефіцієнти є дійсними (комплексними) числами.

Для коефіцієнтів квадратичної форми  введемо наступні позначення:

Коефіцієнт при х_і позначимо через ; коефіцієнт при добутку  для  через . Оскільки , то  позначимо через , і тому член 2 = + .

Якщо в дійсному лінійному просторі  фіксований базис , то квадратична форма  в цьому базисі має вигляд:

або

,

зокрема, при  одержується член .

Матриця , складена з коефіцієнтів , називається матрицею квадратичної форми, а її ранг – рангом цієї квадратичної форми.

Матриця квадратичної форми симетрична, тобто .

Якщо r = n, тобто матриця – невироджена, то і квадратична форма  називається невиродженою.

Квадратичну форму f можна записати у матричному вигляді більш компактно.

Нехай форма  записана у вигляді:

…………………………………….

.

Виносячи  з першого рядка,  з другого,…,  з останнього, одержуємо:

……………………………………

Позначивши стовпчик  через Х, одержуємо .

Нехай в квадратичної формі  виконується невироджене лінійне перетворення невідомих:

(1)

з матрицею . Позначимо через У стовпчик з невідомих . Тоді лінійне перетворення можна записати у вигляді матричної рівності:

 X = QY .                               

(2)

Тоді квадратична форма перетворюється в квадратичну форму від невідомих , а саме в: .

Оскільки множення матриць асоціативне, то , або , де .

Матриця В симетрична, оскільки , тобто .

Отже, квадратична форма  від n невідомих з матрицею А в результаті виконання лінійного перетворення невідомих з матрицею Q перетворюється в квадратичну форму від нових невідомих з матрицею .

Ранг квадратичної форми не змінюється при виконанні невиродженого лінійного перетворення, тобто: .

Квадратична форма має канонічний вид, якщо її матриця діагональна, тобто коли всі коефіцієнти при добутках різних невідомих рівні нулю:

.

Основна теорема про квадратичні форми.

Будь-яку квадратичну форму деяким невиродженим лінійним перетворенням можна привести до канонічного виду. Якщо при цьому розглядається квадратична форма, то всі коефіцієнти вказаного лінійного перетворення можна вважати дійсними.

Доведення.

Теорему доведемо методом математичної індукції.

При n = 1 форма  і теорема стверджується.

Будемо доводити теорему для квадратичних форм від n невідомих, вважаючи її доведеною для форм з меншою кількістю невідомих.

Нехай . Знайдемо таке лінійне невироджене перетворення, яке б виділило з  квадрат одного з невідомих, тобто привело форму  до вигляду суми цього квадрату та деякої квадратичної форми від інших невідомих.

Розглянемо два випадки:

1) серед коефіцієнтів , що стоять в матриці форми  на головній діагоналі, є відмінні від нуля, тобто в  є квадрат хоча б одного невідомого з коефіцієнтом, відмінним від нуля;

2) мають місце рівність , тобто всі коефіцієнти при квадратах невідомих дорівнюють нулю.

1) Нехай . Розглянемо вираз , який є квадратичною формою і має ті ж члени з невідомим , як і наша форма . А тому різниця  є квадратичною формою, яка містить лише невідомі , але не . Тоді .

Позначимо:

(*)

тоді одержуємо: 

(**)

де – квадратична форма від невідомих .

Вираз  є шуканим для квадратичної форми , оскільки він одержаний з  невиродженим лінійним перетворенням, а саме перетворенням, оберненим до лінійного перетворення , але має своїм визначником , і тому невиродженим.

2) Нехай . Виконаємо допоміжне лінійне перетворення, яке привело б до появи в формі  квадратів невідомих. Оскільки серед коефіцієнтів форми  повинні бути відмінні від нуля, то нехай , тобто  є сумою члена  і членів, в кожний з яких входить хоч би одне з невідомих .

Виконаємо лінійне перетворення:

Це перетворення невироджене, оскільки визначник:

В результаті цього перетворення:

тобто в формі  з’являються з відмінними від нуля коефіцієнтами квадрати відразу двох невідомих. Одержуємо вище розглянутий випадок, тобто ще одним невиродженим лінійним перетворенням можемо привести форму  до вигляду .

Нарешті, квадратична форма g залежить від меншої, ніж n, кількості невідомих і тому, за індуктивним припущенням, деяким невиродженим перетворенням невідомих  зводиться до канонічного виду.

Отже, квадратична форма  кількома невиродженими лінійними перетвореннями, які можна замінити одним невиродженим перетворенням – їх добутком, зводиться до суми квадратів невідомих з деякими коефіцієнтами. Число цих квадратів дорівнює рангу форми .

Цей метод зведення квадратичної форми до канонічного виду називається методом Лагранжа, або методом виділення повних квадратів.

1) Якщо в формі  відсутні квадрати невідомих, то виконуємо невироджене лінійне перетворення, яке привело б до появи квадрата одного з невідомих, наприклад,

з матрицею , яке приводить до появи квадрата невідомого  в формі  від невідомих .

2) Оскільки коефіцієнти при  відмінні від нуля, виділяємо з форми  квадрат  за допомогою невиродженого перетворення

з матрицею .

3) Знаходимо матрицю , обернену до матриці С.

4) Виконуємо лінійне перетворення невідомих , для яких обернене має матрицю , і перетворюємо матрицю квадратичної форми  за правилом:

.

Записуємо квадратичну форму  від невідомих  з матрицею , в якій виділено квадрат невідомого .

5) Аналогічно виділяємо квадрати інших невідомих з одержаних форм , зводимо форму  до канонічного виду.

6) Записуємо лінійне перетворення, що приводить форму  до канонічного виду у вигляді добутку матриць .

Контрольні запитання для самоперевірки:

1) Дайте означення квадратичної форми від n змінних.

2) Запишіть матрицю квадратичної форми .

3) Запишіть квадратичну форму п.2 в матричному вигляді.

4) Запишіть квадратичну форму, якщо її матриця має вид .

5) Як змінюється матриця квадратичної форми при лінійному перетворенні? Покажіть, що нова матриця є симетричною.

6) Чи змінюється ранг квадратичної форми при невиродженому перетворенні невідомих?

7) Чи зберігається кількість відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів квадратичної форми при невиродженому перетворенні невідомих?

8) В чому полягає метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного виду?

9) Чи будь-яку квадратичну форму можна звести методом Лагранжа до канонічного виду?

10) Нехай задана квадратична форма від n змінних. Яка розмірність матриці невиродженого перетворення змінних, яке приводить до канонічного виду?

11) Звести до канонічного виду методом Лагранжа квадратичні форми:

а) ;

б) .

Література:

1. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры, М., Наука, 1986. – Гл. V 13, §26.

2. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – Гл V, §1.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. – ХГПИ, 1992. – Ч.ІІ, гл.4.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте