Тема: Закон інерції квадратичних форм

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 17Следующая ⇒

Лекція 2

План:

1. Додатно-визначені квадратичні форми.

2. Критерій Сильвестра додатності квадратичної форми.

3. Зведення квадратичної форми до нормального виду.

4. Закон інерції квадратичних форм

Короткий зміст лекції:

Будемо розглядати квадратичні форми з дійсними коефіцієнтами.

Означення. Квадратична форма називається додатно-визначеною, якщо всі її значення при дійсних значеннях невідомих, не рівні одночасно нулю, додатні.

Квадратична форма називається від’ємно-визначеною, якщо всі її значення від’ємні, за виключенням нульового значення при нульових значеннях невідомих.

Квадратична форма називається додатно- (від’ємно-) піввизначеною, якщо вона не приймає додатних (від'ємних) значень.

Квадратичні форми, які приймають як додатні, так і від’ємні значення, називаються невизначеними.

Приклади:

 – додатно-визначена;

– додатно-визначена;

 як форма від двох невідомих  і  додатно-визначена, але як форма від трьох невідомих , ,  – лише піввизначена.

Для n = 1 ненульова квадратична форма  або додатно-визначена (при а > 0), або від’ємно-визначена (при а < 0). Невизначені форми з’являються при n = 2.

Теорема 1. Для того, щоб квадратична форма була додатно-визначеною, необхідно і достатньо, щоб після зведення її до канонічного виду всі коефіцієнти при квадратах нових невідомих були додатними.

Доведення.

Нехай форма  перетворюється в канонічну  за допомогою лінійного перетворення з невиродженою матрицею:

,

,

…………………………………

.

Це перетворення зворотне:

,

………………………………..

.

Якщо , то нерівність  неможлива, а рівність  можлива лише при , і, отже, при .

Якщо , то взявши  при  і , можна знайти відповідні значення  невідомих , причому вони не будуть рівні нулю одночасно. Тоді .

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо при деякому перетворенні форми до канонічного виду всі коефіцієнти при квадратах нових невідомих додатні, то і при будь-якому іншому перетворенні коефіцієнти канонічної форми будуть додатні.

Критерій Сильвестра. Для того, щоб квадратична форма  від n невідомих була додатно-визначеною, необхідно і достатньо, щоб всі її головні мінори були строго додатні.

Означення. Мінори порядку 1, 2,…, n матриці  квадратичної форми , розташовані в її лівому верхньому куту, тобто мінори  з яких останній є визначником матриці А, називаються головними мінорами форми .

Канонічний вид, до якого зводиться задана квадратична форма, не є для неї одночасно визначниками: будь-яка квадратична форма може бути зведеною до канонічного виду багатьма різними способами.

З’ясуємо, що є спільного в тих різних канонічних формах, до яких зводиться задана форма , або за яких умов одна з двох даних квадратичних форм може бути переведеною в іншу невиродженим лінійним перетворенням.

Якщо розглядається комплексна квадратична форма рангу r, то допускається невироджене лінійне перетворення з комплексними коефіцієнтами, за допомогою якого форма  зводиться до канонічного виду , де всі .

Оскільки з кожного комплексного числа добувається квадратний корінь, виконаємо наступне перетворення:

Воно приводить форму  до виду:

,

(1)

який називається нормальним видом, це – просто сума квадратів r невідомих з коефіцієнтами, рівними одиниці. Нормальний вид залежить лише від рангу r форми , тобто всі квадратичні форми рангу r зводиться до одного і того ж нормального виду.

Отже, якщо дві форми  і g від n невідомих мають однаковий ранг r, то завжди можна перевести  в (1), а потім (1) в g.

Звідси випливає, що канонічним видом комплексної квадратичної форми рангу r може бути будь-яка сума квадратів r невідомих з будь-якими відмінними від нуля комплексними коефіцієнтами.

Нехай – дійсна квадратична форма і допускаються лише лінійні перетворення з дійсними коефіцієнтами. В цьому випадку не будь-яку квадратичну форму можна привести до вигляду (1), оскільки це вимагало б добування квадратного кореня з від’ємного числа.

Якщо тепер за нормальний вид квадратичної форми прийняти суму квадратів декількох невідомих з коефіцієнтами , то будь-яку квадратичну форму  можна звести невиродженим лінійним перетворенням з дійсними коефіцієнтами до канонічного виду.

Канонічний вид форми  рангу r з n невідомими можна записати так:

,

де всі числа  відмінні від нуля і додатні. Тоді невироджене лінійне перетворення з дійсними коефіцієнтами  зводить форму  до нормального виду .

Загальна кількість квадратів, що входять сюди, дорівнює рангу форми.

Дійсна квадратична форма може бути зведеною до нормального виду різними перетвореннями, однак з точністю до нумерації невідомих, вона зводиться лише до одного нормального виду.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии