Тема: Системи лінійних нерівностей

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 17Следующая ⇒

Лекція 7

План:

1. Теорема Мінковського.

2. Критерії несумісності систем лінійних нерівностей.

3. Узагальнення теореми Кронекера‑Капеллі.

Короткий зміст лекції:

Нехай система , сумісна і всі її розв’язки задовольняють нерівності  тоді ця нерівність називається наслідком даної системи.

Теорема Мінковського. Якщо лінійна нерівність  є наслідком системи однорідних лінійних нерівностей , то існують дійсні невід’ємні числа , для яких виконується тотожне відносно  співвідношення .

З цієї теореми випливають наступні критерії несумісності та сумісності систем лінійних нерівностей.

Критерій Александрова:

Система лінійних нерівностей

несумісна (нерозв’язна) тоді і тільки тоді, коли існують невід’ємні розв’язки системи лінійних нерівностей:

Критерій Вороного:

Система однорідних лінійних нерівностей

несумісна тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

має додатній розв’язок.

Критерій Чернікова:

Система лінійних нерівностей , рангу  несумісна тоді і тільки тоді, коли хоча б для одного відмінного від нуля мінору r-ого рангу порядку ∆ її матриці будь-який супровідний його визначник цієї системи  або дорівнює нулю, або співпадає з ним за знаком (тобто ). Супровідні визначники , одержуються з визначника ∆ оторочуванням його знизу та праворуч відповідно елементами j-ого рядка матриці системи і відповідними цим рядкам елементами стовпця вільних членів.

З критерію Чернікова випливає, що якщо система лінійних нерівностей ,  рангу  сумісна, то сумісна і кожна визначена нею система  рангу r.

Узагальнення теореми Кронекера‑Капеллі:

Нехай  – ранг системи

і – ранг системи рівнянь, що входять до цієї системи. Система  сумісна тоді і тільки тоді, коли в її матриці існує такий відмінний від нуля мінор ∆ r-ого порядку, який містить  рядків, складених із коефіцієнтів рівнянь системи , всі супровідні його визначники цієї системи, які відповідають її рівнянням, рівні нулю; відношення  для всіх супровідних визначників , які відповідають її нерівностям, невід’ємні.

Якщо в системі , коефіцієнти при невідомих і‑ого стовпця, , мають однаковий знак, то дана система сумісна. Надаючи невідомим  довільних значень, одержуємо систему:

,

з якої знаходимо наступну область значень :

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте