Закон інерції квадратичних форм.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 17Следующая ⇒

Кількість додатних і кількість від’ємних квадратів у нормальному виді, до якого зводиться дана квадратична форма з дійсними коефіцієнтами дійсним невиродженим перетворенням, не залежить від вибору цього перетворення.

Кількість додатних квадратів в тій нормальній формі, до якої зводиться дана дійсна квадратична форма , називається додатнім індексом інерції цієї форми, кількість від’ємних квадратів – від’мним індексом інерції, різниця між додатним та від’ємним індексами інерції – сигнатурою форми .

Отже, дві квадратичні форми від n невідомих з дійсними коефіцієнтами тоді і тільки тоді перетворяться одна в іншу невиродженими дійсними лінійними перетвореннями, якщо ці форми мають однакові ранги і однакові сигнатури.

Доведення.

Нехай форма  переводиться в форму g невиродженим дійсним перетворенням. Це перетворення не змінює рангу форми. Воно не змінює і сигнатури, оскільки в противному випадку  і g зводились би до різних нормальних видів, і тоді форма  зводилася б, в суперечність із законом інерції, до цих обох видів. Навпаки, якщо форми  і g мають однакові ранги і однакові сигнатури, то вони зводяться до одного і того ж нормального виду і тому можуть переводитись одна в другу.

Контрольні питання для самоперевірки:

1. Дайте визначення додатно-визначеної квадратичної форми.

2. Чи може додатно-визначена квадратична форма мати:

а) від’ємні канонічні коефіцієнти?

б) канонічні коефіцієнти, рівні нулю?

в) ранг менший, ніж n?

3. Сформулюйте:

а) критерій Сильвестра;

б) необхідну і достатню умови додатності квадратичної форми.

4. Як звести квадратичну форму до канонічного виду?

5. За яких умов дійсну квадратичну форму можна перевести в іншу невиродженим лінійним перетворенням?

6. Сформулюйте закон інерції квадратичних форм

7. Дайте визначення додатного, від’ємного індексів інерції, сигнатури квадратичної форми.

8. Чи є квадратична форма  додатно-визначеною?

Література:

1. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1986. – Гл. VІ, §27.

2. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – Гл V, §2.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. – ХГПИ, 1992. – Ч. ІІ, Х., гл. 4, §1.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров