Тема: квадратична форма в трьохвимірному просторі та її застосування до дослідження рівнянь поверхонь другого порядку

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 17Следующая ⇒

Якщо

то матриця ортогонального перетворення, яка переводить орти , має вигляд  (в рядках стоять координати образів базисних ортів  відносно ортогонального перетворення Q).

Тоді координати вектора  в системі  пов’язані з координатами  цього вектора в системі  за допомогою стовпців в матриці Q:

Ортогональне перетворення Q за допомогою матриці  означає поворот системи  на деякий кут  навколо початку координат.

Вектори  визначають напрям нової прямокутної системи координат, в якій квадратична форма  має канонічний вид.

Для її побудови достатньо знати головний напрям, тобто кут  повороту системи хОу відносно початку координат, для якого , тобто є координатами одного з векторів  або  в базисі , отже:

.

Ортогональним перетворенням невідомих зводимо задане рівняння до виду:

.

Лінійним перетворенням невідомих  і :

що відповідає паралельному зсуву системи , зводимо рівняння кривої другого порядку до канонічного виду.

З коефіцієнтами рівняння кривої другого порядку можна скласти такі функції , які не змінюють свого значення при будь-якому перетворенні невідомих. Такі функції називаються інваріантами лівої частини загального рівняння кривої відносно даного перетворення координат.

Інваріантами лівої частини рівняння кривої другого порядку відносно загального перетворення координат (повороту і паралельного зсуву) є наступні вирази:

Нехай

(*)

– загальне рівняння кривої другого порядку. Визначимо вид лінії, заданої цим рівнянням, за допомогою інваріантів.

1. Якщо , то загальним перетворенням системи координат рівняння  лінії другого порядку зводиться до виду: .

Одержане рівняння визначає:

· Якщо , то  – еліпс;

· Якщо , то – уявний еліпс;

· Якщо , то – точку;

· Якщо , то – гіперболу;

· Якщо , то – пару прямих, що перетинаються.

Якщо ; , то рівняння  визначає параболу, канонічне рівняння якої має вид: .

Якщо ; ; то рівняння  визначає пару паралельних прямих, найпростіші рівняння яких мають вид: .

· Якщо ; ; <0, то одержуємо пару дійсних паралельних прямих;

· Якщо ; ; >0 – пару уявних паралельних прямих;

· Якщо ; ; = 0 – пару прямих, які співпадають.

Контрольні питання для самоперевірки:

1. Запишіть алгебраїчне рівняння другого степеня з n невідомими.

2. Чи можна розглядати невідомі цього рівняння як квадрати деякого вектора евклідового простору?

3. Як за допомогою перетворення координат можна звести це рівняння до найбільш простого виду?

4. Звести загальне рівняння лінії другого порядку до канонічного виду та побудувати криву:

а) ;

б) ;

в) .

Випишіть одержані при розв’язуванні перетворення координат.

5. Визначить за допомогою інваріантів лінії другого порядку:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Література:

1. В.П.Білоусов, У.Г.Ільїн, О.П.Сергунова, В.М.Котлова. Аналітична геометрія. – К.: Рад. шк., 1957. – Розд. ІV, §196.

2. С.В.Бахвалов, Л.И.Бабушкин, В.П.Иваницкая. Аналитическая геометрия. –  М.: Учпедгиз, 1962. – Гл VІІ, §42, 43.

3. С.Г.Колесник, В.В.Цыбуленко. Алгебра и теория чисел. Ч. ІІ. – Х.: ХГПИ, 1992. – Гл. ІV, §2.

Лекція 5

План:

1. Квадратична форма у трьохвимірному просторі.

2. Дослідження рівнянь поверхонь другого порядку.

3. Інваріанти рівняння поверхонь другого порядку.

Короткий зміст лекції:

При  квадратична форма  має вид:

, .

В результаті ортогонального перетворення невідомих форма  приймає канонічний вид:

,

тобто є сумою квадратів вектора  в деякому ортонормованому базисі .

Коефіцієнти , ,  є коренями характеристичного рівняння матриці квадратичної форми і одночасно не дорівнюють нулю.

Для знаходження ортонормованого базису, в якому квадратична форма має канонічний вид, необхідно знайти власні вектори , , , які відповідають власним значенням перетворення А, породженого симетричною матрицею A квадратичної форми .

Одиничні вектори , , , де

,

,

,

задовольняють умовам:

; ;

; ; ,

,

оскільки , , .

Матриця ортогонального перетворення, яка переводить орти , ,  в орти , , , має вигляд:

.

Координати вектора  в системі  пов’язані з координатами цього ж вектора  в системі  за допомогою стовпців матриці :

,

,

.

Вектори , ,  визначають напрям нової прямокутної системи координат, в якій квадратична форма  має канонічний вид, тобто є головними напрямками відповідної поверхні другого порядку.

Кожна поверхня другого порядку має принаймні три взаємно ортогональні головні напрями.

Нехай задано загальне рівняння поверхні другого порядку:

(1)

Ортогональним перетворенням невідомих зводимо дане рівняння до виду:

(2)

Це відповідає повороту системи координат  навколо початку  так, що вісі , ,  нової системи координат мають відповідно напрями , , . Наступним перетворенням паралельного зсуву, яке відповідає лінійному перетворенню невідомих , ,  за формулами:

,

,

,

зводимо рівняння (2) до канонічного виду.

Існує трикутна система координат, в якій рівняння (1) має один з наступних видів:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , .

В залежності від комбінації знаків рівняння типу а) визначає наступні поверхні:

Комбінація знаків

Канонічне рівняння поверхні

Назва поверхні

Еліпсоїд

Уявний еліпсоїд

Точка або уявна конічна поверхня

Однопорожнинний гіперболоїд

Двопорожнинний гіперболоїд

Конічна поверхня

Рівняння типу б) визначає еліптичний параболоїд, якщо  і  мають однакові знаки, і гіперболічний параболоїд, якщо знаки  і  різні.

Рівняння типу в) в залежності від знаків , ,  визначає наступні поверхні:

Комбінація знаків

Канонічне рівняння поверхні

Назва поверхні

Еліптичний циліндр

Уявний еліптичний циліндр

Пара уявних площин із спільною дійсною прямою

Пара площин, які перетинаються

Гіперболічний циліндр

Рівняння типу г) визначає параболічний циліндр.

Рівняння типу д) визначає пару дійсних паралельних площин, якщо ; пару уявних паралельних площин, якщо ; пару площин, які співпадають, якщо .

Інваріантами лівої частини рівняння поверхні другого порядку відносно будь-яких перетворень декартової системи координат є наступні числові функції від коефіцієнтів цього рівняння:

;

;

;

;

Інваріант  є інваріантом відносно повороту для будь-якої поверхні, але  не є інваріантом відносно паралельного зсуву, отже, не є інваріантом відносно загального перетворення.  називається півінваріантом (семиінваріантом).

Інваріант  не є інваріантом відносно загального перетворення, тобто  – півінваріант.

Для рівняння поверхні типу а):

, ;

, звідки .

Отже, рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу б) маємо:

; ; ;

, звідки .

Рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу в):

, ; ; ;

.

Обчислимо :

, звідки .

Рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу г):

, ; ; ; ;

, звідки .

Рівняння приймає вид: .

Для поверхні типу д):

, ; ; ; ; . Оскільки  є інваріант для поверхні цього типу, то:

, звідки .

Рівняння приймає вид: , або .

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Запишіть алгебраїчне рівняння другого степеня з трьома невідомими.

2. Чи можна розглядати невідомі цього рівняння як координати деякого вектора евклідового простору?

3. Як за допомогою перетворення координат можна звести це рівняння до канонічного виду?

4. Визначте тип поверхонь:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Визначте вид поверхні і спростіть рівняння:

а) ;

б) .

Література:

1. В.П.Білоусова, І.Г.Ільїн, О.П.Сергунова, В.М.Котлова. Аналітична геометрія. – К.: Рад. шк., 1957. – Розд. ІХ, Х, ХІ, § 217 – 222.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры