Узлы и пучности. Анализ стоячей волны по Х.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 14Следующая ⇒

Метод векторных диаграмм

Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = wt + j₀ где j₀ - начальный угол.

Проекции вектора А на оси координат запишутся:

Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу - начальную фазу.

Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f (фаза результирующего колебания).

Из очевидных геометрических соображений находим:

Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

посмотреть на осциллографе

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот - частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

В общем случае это - уравнение эллипса. При A₁=A₂ - окружность, при (m - целое) - отрезок прямой.

Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

9. Основные характеристики волновых процессов. Виды волн (плоские, сферические, цилиндрические). Суперпозиция волн. Когерентность. Интерференция. Стоячие волны.

Волна– процесс распространения гармонических колебаний в упругой среде.

Источники колебания:

1. Точечные

2. Линейные

3. Трёхмерные

Упругая среда – её частицы связаны упругими силами. Параметры упругой среды (k-жесткость и m) могут быть сосредоточены в узлах (m) и междоузлах (k)

Смещение частицы в точке (1) S₁=Acosωt₁ (1 – точечный источник колебаний)

в точке (2) S₂=Acosωt₂ t₂=t₁-x/v

S₂=Acosω(t₁-x/v)=Acos2π(t₁/T-x/λ)=Acos(ωt-k_xX)
(k_x=2π/x=ω/v – волновое число вдоль икса) (1/м)

Длина волны расстояние, пройдённое за период. λ=V/ню=VT

Волновой вектор(K) всегда направлен перпендикулярно волновому фронту.
k= 2π/λ=  
 =k_xi+k_yj+k_zk, для волны в произвольном виде имеем: S=Acos(ωt-kr)

Волновой фронт – волновая поверхность, которая разделяет области, где есть колебания частиц среды и области, где их нет.

По форме волны:

1) Сферические (с точечным источником)

2) Цилиндрические (с линейным источником)

3) Плоские (от ∞-далёкого источника)

Законы движения:
плоской волны S=Acos(ωt- )

сферической волны S(  ,t)=(a/r)cos(ωt- )  

цилиндрической волны S(  ,t)=(a/sqrt(r))cos(ωt- )
 

Монохроматическая волна – волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой и с одним волновым вектором

Волновая поверхность – на ней фаза волны постоянна (геометрическое место точек, испытывающих возмущение обобщенной координаты в одинаковой фазе)

Суперпозиция – независимое сложение волн без взаимных искажений в линейной упругой среде. (Линейная среда – в ней результат действия волны (смещение частиц среды) пропорционален амплитуде волны)

Когерентность – согласованность волн по фазе (φ₁-φ₂=const)

Интерференция – суперпозиция когерентных волн, сопровождается перераспределением интенсивности волн в пространстве (сопровождается появлениям max и min интерференции)

A²=A₁²+A₂² + 2A₁A₂cos(φ₁ - φ₂)

Суммарная интенсивность

I=I₁+I₂+2sqrt(I₁I₂)cos(φ₁ - φ₂)

При суперпозиции без интерференции

I= I₁+I₂

Суперпозиция при интерференции

а) максимум интерференции I=I₁+I₂+2sqrt(I₁I₂);

б) минимум интерференции I=I₁+I₂ - 2sqrt(I₁I₂)

Когерентность – согласованность волн по фазе.

Стоячая волна- частный случай интерференции двух одинаковых встречных волн

S₁ по ОХ, S₂ против ОХ
S₁=Acos (ωt-k_xx+φ₁)

S₂=Acos (ωt+k_xx+φ₂)

S= S₁+S₂= 2Acos(-k_xx+(φ₁-φ₂)/2)*cos(ωt+(φ₁+φ₂)/2)

S=2Acosk_xxcosωt – это не волна, а гармонические колебания с частотой ω и амплитудой А. Не переносит энергию в пространстве, как бегущая волна.

а) для пучностей A(x)=2A=A_max 

x_пуч=2πλ/4
б) для узлов A(x)=A_min=0
x_узлов=(n+1/2)λ/2=(2n+1)λ/4
Анализ стоячей волны по t

a) при t=0 cosωt=1

S=2Acosk_xx

Пучность на стенке получается, если стенка из более «слабого» материала, узел на стенке – если материал «сильнее»

б) t=T/4, ω=2π/T, cosωt=0

в) t=T/2

cosωt=-1

д)t=T

Соотношения между разностью хода и Δφ

Δφ=kΔx=(2π/λ)Δx

10. Волновое уравнение. Соотношение неопределённостей для волновых процессов. Групповая и фазовая скорости волн.

Волна– процесс распространения гармонических колебаний в упругой среде.

Упругая среда – её частицы связаны упругими силами. Параметры упругой среды (k-жесткость и m) могут быть сосредоточены в узлах (m) и междоузлах (k)

Уравнение в частных производных второго порядка, линейное, однородное.

Получили его с помощью закона плоской волны.

+ +  = (1/v²)* (v – фазовая скорость)

В результате дифференцирования закона движения:

+ +  = -Ak²cos(ωt-kr) (k=ω²/v² )

+ +  =( + + )S=ΔS=(1/v²)*δ²S/δt^{2 (}Δ= оператор Лапласа)

Групповая скорость волн -Волновой пакет - Сумма монохроматических компонент:

S(x,t) =

Скорость середины волнового пакета x_­­­₀ = групповая скорость.
При х=х₀ – синфазность всех монохроматических составляющих пакета.

φ=ωt-k_xx (k=ω/v=2π/λ) (условие максимума волнового пакета)

dφ/dk=0=(dω/dk)t-x₀

x₀=(dω/dk)t=U(t), где U=dω/dk – групповая скорость

ΔS=(1/v_фаз²)*δ²S/δt²

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов