Определение движения точки по заданным силам (вторая задача динамики).

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 9Следующая ⇒

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания составлены с целью оказания помощи студентам при подготовке к экзамену по наиболее сложному разделу курса теоретической механики – динамике.

Разобраны решения характерных задач аналогичных тем, что встречаются в экзаменационных материалах (тестах, билетах). При этом необходимо помнить, что успешно справиться с задачами и вопросами экзамена можно только при прочных, уверенных знаниях теоретического курса ме­ханики в соответствии с требованиями учебного стандарта специальности. Ме­тоды решения предложенных задач опираются на знания основных (общих) теорем и принципов теоретической механики.

Необходимые практические знания курса сводятся к навыкам и умениям строить (изображать, создавать) физическую модель механического процесса: силовую, кинематическую и динамическую схемы к решению задачи и пользоваться соответствующим математическим аппаратом. Авторы настойчиво обращают внимание студентов на качественное построение рисунков к задачам и рекомендуют пользоваться чертёжным инструментом.

Самостоятельное изучение курса теоретической механики состоит в усвоении теоретического материала с помощью учебников и конспектов, в регулярной подготовке к семинарским за­нятиям (решение задач, задаваемых на дом) и, наконец, в выполнении курсовых домашних заданий. В силу ряда причин (многочисленности групп и недостатке времени) преподавателю трудно организовать непрерыв­ный контроль за работой студентов. Поэтому важное значение имеет возможность осуществления само­контроля студента при изучении курса. Для этих целей предлагается перечень кратких "качественных" вопросов по разделу динамика точки курса теоретической механики и набор кратких "количественных" задач, которые позволяют студенту самостоятельно оценить свои знания.

Вопросы и задачи подбирались так, чтобы проверить усвоение, а также тренировать развитие умений и навыков по наиболее важному разделу  курса. Кроме того, при формулировке вопросов и разработке заданий автор ру­ководствовался стремлением подготовить студентов к самостоятельному реше­нию домашних задач по сборнику И.В. Мещерского и к выполнению курсовых заданий по сборнику А. А. Яблонского .

   Предлагаемый опросный материал может быть использован для рубежного кон­троля знаний студентов  и при составлении вопросов для тестового контроля усвоения студентами курса.

1.ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Основным дифференциальным уравнением движения материальной точки является:

                                                                                                                  (1)

Если вспомнить выражения для  через  и , то (1) можно еще переписать так:

                                                                                                              (2)

                                                                                                          (3)

При теоретическом анализе движения используется одна из формул (1-3), в практических же расчетах обычно переходят к координатной (скалярной) форме основного уравнения динамики, записывая его в проекциях на оси координат.

Если в качестве осей выбрать натуральный триэдр, то проектируя (1) на направления касательной, нормали и бинормали к траектории получим:

                                               ;

                                               ;                                               (4)

                                                ;

Из последнего уравнения (4) следует, что равнодействующая всех действующих на тело сил лежит в соприкасающейся плоскости траектории точки.

При движении по плоской траектории уравнения (4) приводятся к виду:

                                                ;

                                                                                                    (5)

При решении задач динамики наиболее принятой является прямоугольная декартова система координат. В проекции на оси декартовой системы координат уравнения движения обычно записываются в форме:

 Задачи, которые можно решить с помощью основных динамических уравнений, принято делить на два типа:

 I тип задач (первая задача динамики) – дано движение материальной точки массой m, т.е. заданы координаты точки в функции от времени:

                                       x=x(t); y=y(t); z=z(t),

необходимо определить неизвестную силу, действующую на точку;

 II тип задач (вторая задача динамики) – заданы силы, приложенные к точке известной массы, требуется найти движение точки, т.е. x(t), y(t), z(t).

 Замечание: если рассмотреть движение несвободной точки, то необходимо воспользоваться аксиомой статики освобождаемости от связей, т.е. рассмотреть точку, как свободную, отбросив связи и заменив их реакциями связей.

 Определение силы по заданному движению точки (первая задача динамики).

 Постановка: известны уравнения описывающие движение материальной точки.

 Задано движение точки, т.е.

                               ; ; .

Требуется рассчитывать силу, действующую на точку, т.е. R_x, R_y, R_z .

Первая задача динамики решается двойным дифференцированием.

Известны уравнения движения материальной точки массой m. (Обычно на практике задачи механики решаются в прямоугольной системе координат, поэтому уравнения движения запишем в декартовых координатах):

                                                                                    (1)

Заданы силы, действующие на материальную точку в общем случае в функции времени, положения точки и ее скорости:

                                                                      (2)

Требуется найти движение точки, т.е. x(t), y(t), z(t). 

Объединяя (1) и (2), запишем систему дифференциальных уравнений движения материальной точки в виде

                                                                                   (3)

Совокупность (3) представляет систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех неизвестных функций x(t), y(t), z(t).

Для нахождения неизвестных функций необходимо провести интегрирование (3). Общим интегралом системы (3), полученным с помощью тех или иных математических приемов, является система уравнений вида:

                                            (4)

содержащая шесть неизвестных постоянных (согласно числу уравнений и их порядкам). Уравнения (4) называются вторыми интегралами уравнений движений.

Дифференцируя (4) по времени, получим систему вида:

                                                   (5)

Уравнения (5) называются первыми интегралами уравнений движения. В некоторых случаях (5) можно получить путем непосредственного однократного интегрирования (3).

 Для получения решения конкретной задачи необходимо определить неизвестные постоянные {c_i} в уравнениях (4). Это выполняется с помощью так называемых начальных условий. Что это такое?

Всякое движение мы начинаем изучать с некоторого момента времени t=t₀. Этот момент называется начальным. Для решения задачи о движении материальной точки необходимо, чтобы в начальный момент времени были известны: начальное положение точки x₀, y₀ , z₀ и начальная скорость точки

 В общем виде начальные условия записываются так при t=t₀:

                                                                        (6)

Подставляя (6) в (4) и (5), получим систему шести уравнений с шестью неизвестными {c_i}

                                                   (7)

Уравнения (7) решаются относительно {c_i} , результаты подставляются в (4), которые решаются относительно x, y, z. В результате определяются искомые уравнения движения материальной точки.

                                                      (8)

Исключая из (8) время, можно определить уравнения траектории движения материальной точки. В общем виде их можно записать так:

Определение решения задачи (3), (6) представляет собой пример так называемой задачи Коши. В теории дифференциальных уравнений, при самых общих ограничениях накладываемых на правые части уравнений (3) доказывается, что эта задача имеет решение и при том единственное.

В ряде случаев движение материальной точки целесообразно исследовать в произвольно-движущейся (неинерциальной) системе отсчета. Уравнение движения точки в этом случае , имеет вид

.

Векторы     и   , имеющие размерность силы, называются переносной и кориолисовой силами инерции.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры