Размерность линейного пространства.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

30. Размерность линейного пространства.

Определение. Линейное пространство V называется конечномерным, если оно обладает конечным базисом. Число элементов в каком-нибудь базисе V называется его размерностью; обозначение dim V.

Из основной леммы о линейной зависимости вытекает

Теорема (о корректности определения размерности) Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.

40. Теоремы о базисах.

Для дальнейшего нам необходима следующая

Лемма. Если система  линейно независима и  то линейно независима.

Доказательство. Пусть  Допустим, от противного, что  линейно зависима. Тогда для подходящих чисел , не равных нулю одновременно, верно  Заметим, что  иначе все числа  были бы равны 0 (почему?). Тогда после преобразований имеем:

противоречие. ð

Теорема (о продолжении базиса).Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства .

Доказательство. Допустим, что  не является базисом. Тогда существует  и по лемме  линейно независима. Продолжая аналогично, найдем последовательно векторы  так, что  но  (равенство выполняется для ). ð

Теорема (о монотонности размерности). Если подпространство в  то  причем

Доказательство. Выберем базис  в пространстве  и дополним эту линейно независимую систему до базиса пространства . Ясно, что  (почему?) Если  то  базис пространства  и

Задача 4.Ввести понятие базиса конечной системы векторов и доказать равносильность понятий «элементарная» и «линейная» эквивалентность.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте