Линейная независимость лестничной системы векторов.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 10Следующая ⇒

§2. Линейная зависимость

1⁰. Понятие линейной зависимости.

Определение. Система n-мерных векторов  называется линейно зависимой, если , не равные нулю одновременно, такие что . Иначе, система векторов линейно зависима Û нуль-вектор можно записать в виде нетривиальной линейной комбинации векторов системы.

2⁰. Геометрический смысл линейной зависимости. Два вектора линейно зависимы Û они параллельны одной прямой (или коллинеарны, или пропорциональны); 3 вектора линейно зависимы Û они параллельны одной плоскости (или компланарны), если их отложить от некоторой точки, то после подходящих растяжений сумма двух векторов будет равна третьему вектору.

30. Линейная независимость лестничной системы векторов.

Определение.Лестничной называется следующая система векторов:

 = (g₁₁, g₁₂, g₁₃,. . . , g_1n), g₁₁ ¹ 0

 = ( 0,  g₂₂,  g₂₃,. . . , g_2n), g₂₂ ¹ 0,

 = ( 0,   0,  g₃₃, . . . , g_3n), g₃₃ ¹ 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Лемма.Лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство. Допустим, что справедливо векторное равенство . Сравнивая первые координаты векторов из левой и правой частей, получаем a₁g₁₁ = 0, значит, a₁ = 0 и . Рассуждая аналогично, имеем a₂ = 0 и т.д. ÿ

40. Алгоритм проверки линейной зависимости в Rn.

Для решения различных задач (линейная зависимость и другие), связанных с арифметическими векторами, удобно строки записывать в виде столбцов.

Пример 1. а) Являются ли линейно зависимыми векторы  или строки матрицы  

б) Можно ли вектор  линейно выразить (или представить в виде линейной комбинации) через векторы

Решение.а) Эта задача эквивалентна следующей: имеет ли ненулевое решение система . Решив систему, получим, что она имеет единственное нулевое решение. Значит, указанные векторы линейно независимы.

б) Задача сводится к следующей: совместна ли система уравнений:  Решив систему, находим решение

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману