Общее понятие линейного пространства; подпространства.
Определение.Линейным пространствомнад R называется множество V элементов произвольной природы (они называются векторами), на котором заданы операции сложения и растяжения (умножение на числа), удовлетворяющие указанным 8 аксиомам линейного пространства. Отметим особо, что сумма и растяжения векторов – векторы.
Пример 1.  линейное пространство, стандартный базис которого образуютматричные единицы  
Пример 2. а)  б) если  то неверно, что 
Действительно, общая симметрическая матрица имеет вид  , следовательно, пространство  имеет базис из трех матриц 
Определение. Подмножество W пространства V называется линейным подпространством, если выполнены условия: 1) 0Î W, 2) W + W Í W, 3) R × W Í W.
Пример 3. Всякое подпространство является пространством (почему?).
40. Линейные комбинации.
Определение. Выражение  называется линейной комбинацией векторов  с коэффициентами a1, . . . , ak. Линейная комбинация векторов с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.
Говорят, что вектор  линейно выражается через , если представим в виде линейной комбинацией векторов .
Обозначим через  множество всевозможных линейных комбинаций векторов системы  которую назовем линейной оболочкой системы 
Пример 4.Если  то является подпространством в  .
|
