Базис и размерность пространства

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 10Следующая ⇒

§3. Базис и размерность пространства

10. Понятие базиса.

Определение. Система E называется базисом линейного пространства V, если выполнены условия: а) E линейно независима; б) всякий вектор пространства V линейно выражается через E.

Заметим, чтоRⁿ имеет стандартный базис, состоящий из единичных векторов

 = (0,…, 1,…, 0) (единица находится на месте с номером i).

Задача.Доказать, что максимальная по включению линейно независимая система векторов является базисом.

2⁰. Координаты.Базис позволяет ввести в пространстве координаты.

Определение.Пусть – базис пространства, записанный в строчку. Столбец чисел  называется координатным столбцом вектора  относительно базиса (E), если  

Запись координат именно в виде столбца связана с матричным формализмом, о котором речь пойдет в разделе «Матрицы».

Пример 2.Так как  то координаты этого вектора относительно стандартного базиса совпадают с его компонентами. Однако, указанный вектор имеет координаты, равные 1, относительно базиса .

Пример 3. Найти координаты вектора  относительно базиса

Решение.Пусть  стандартный базис в R². Тогда

ð

Теорема (об однозначности разложения вектора по базису).Координаты вектора относительно базиса находятся однозначно.

Доказательство. Если  и , то, приравнивая правые части этих равенств, и перенося все в одну часть, получим . Учитывая теперь, что система E линейно независима, получаем равенство нулю всех коэффициентов из последней линейной комбинации, значит,  ð

Задача.Доказать, что  является базисом , если  и нуль-вектор однозначно разлагается по системе .

Самостоятельная работа^*

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману