Общие результаты о базисах и размерностях.
§4. Общие результаты о базисах и размерностях.
10. Элементарные преобразования систем векторов.Элементарные преобразования систем векторов играют важную роль и бывают трех видов (или родов):
1-го рода) умножение некоторого вектора системы на ненулевое число;
2-го рода) прибавление к данному вектору какого-нибудь другого вектора, умноженного предварительно, на произвольное число;
3-го рода) перестановка двух уравнений системы.
Задача 1.Системы векторов  и  называются линейно эквивалентными, если  . Доказать линейную эквивалентность систем  и  ?
Решение.Поскольку  , то указанные системы можно назвать элементарно эквивалентными. Осталось проверить, что элементарно эквивалентные системы линейно эквивалентны (самостоятельно!). ð
Задача 2.Доказать, что при элементарных преобразованиях сохраняется свойство линейной независимости.
Задача 3.Доказать, что от одного базиса к другому можно перейти цепочкой элементарных преобразований.
20. Основная лемма о линейной зависимости.
Если  то векторы  линейно зависимы.
Доказательство проведем с помощью матричного формализма. По условию,  , где  . Пусть длинная однородная система  имеем ненулевое решение  . Тогда  но это и означает линейную зависимость . ð
Следствие. Система, содержащая  вектор длины  линейно зависима.
|
