Теория катастроф – взгляд со стороны

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 26Следующая ⇒

9.1. Устойчивость по траектории

Рассмотрим некоторую траекторию u_j (t) как движение системы в фазовом пространстве. Эта траектория устойчива, если другие траектории, которые в начальный момент времени t = t₀ были рядом с траекторией u_j (t), не удаляются со временем (рис. 9.1)

Рис.9.1. Поведение двух соседних траекторий движения системы в случае устойчивости по траектории

Поясним это обстоятельство. Каждая траектория – это единственный путь (поведение) системы при заданных начальных условиях. Разные начальные условия дают разные траектории в фазовом пространстве. Если мы говорим, что траектории были рядом в начальный момент времени, то это значит, что мы изучаем поведение системы при близких начальных условиях. Из того, что траектории со временем не расходятся (остаются поблизости друг от друга) следует, что значения переменных q_i , характеризующих систему, имеющие небольшое различие при близких начальных условиях, также незначительно отличаются друг от друга и во все последующие моменты времени. С математической точки зрения это означает, что, если задана окрестность S траектории u_j (t) в фазовом пространстве и если все соседние траектории, исходящие из этой окрестности, всегда остаются в этой окрестности, то траектория u_j (t) устойчива (см. рис.9.1). Если же нельзя найти такую окрестность, чтобы соседние траектории в любой последующий момент времени не покидали ее, то траектория u_j (t) неустойчива.

Можно сузить это определение. Пусть соседние траектории - u_j(t) и v_j(t) – обладают следующими свойствами

                                  при t → ∞,                              (9.1)

это значит, что соседние траектории асимптотически стремятся друг к другу. Устойчивость, соответствующая данному определению называется асимптотической устойчивостью по траектории. Если же u_j (t)

                                    при t → ∞,                           (9.2)

то мы имеем дело с асимптотически неустойчивой траекторией.

9.2. Орбитальная устойчивость

Рассмотрим траекторию движения системы – u_j (t) – с точки зрения ее геометрической формы.

Пусть дана траектория u₁ (t); если для заданного  > 0 найдется такое η > 0, что точка R, движущаяся по траектории, близкой к u₁ (t), (т.е. по «соседней» траектории в смысле близости начальных условий), в момент t₀ находится от u₁ (t) на расстоянии не более η и при t > t₀ остается на расстоянии не большем , то u₁ (t) – орбитально устойчивая траектория. Это означает, что, если при небольшом изменении переменных q_i системы в начальный момент времени ее траектория (орбита) не меняет свою форму в фазовом пространстве, то имеет место орбитальная устойчивость (рис.9.2).

Рис.9.2. Движение систем при орбитальной устойчивости (соседние траектории)

Пример: два самолета, вылетевшие примерно в одно и то же время, но с разными скоростями, по одинаковому кольцевому маршруту, пролетают по орбитально устойчивой траектории для данной серии полетов. Это несмотря на то, что расстояние между самолетами в процессе полета все время увеличивается.

Орбитальная устойчивость также может быть асимптотической – в том случае, если расстояние между точкой R , движущейся по траектории, первоначально близкой к u₁ (t), и самой траекторией u₁ (t) стремится к нулю при      t → ∞.

Еще один пример системы с двумя переменными, показывающий, в чем отличие орбитальной устойчивости от устойчивости по траектории. Рассмотрим движение материальной точки, которое в полярных координатах выражается уравнениями:

                                                                                                                   (9.3)

Это движения по окружностям, причем, чем больше радиус окружности r , тем больше угловая скорость  . Значит две частицы, которые в начале движения были на соседних орбитах с близкими радиусами, со временем расходятся вследствие отличия их угловых скоростей. Устойчивости по траектории нет. Но форма орбиты при небольших изменениях начального значения r не меняется. Следовательно, орбитальная устойчивость имеется.

9.3. Структурная устойчивость

Пусть даны уравнения динамической модели системы

                                                            q_j = F_j ,                                                       (9.4)

функции F_j часто зависят не только от переменных q_j , но и от внешних параметров , которые называются управляющими параметрами. При фиксированных значениях управляющих параметров поведение системы, описываемое траекториями в фазовом пространстве, однозначно зависит от начальных условий. Картина, изображающая поле траекторий в интересующей нас области фазового пространства для всех возможных начальных условий, называется фазовым портретом системы. Если при небольших изменениях управляющих параметров структура фазового портрета остается без изменений, то говорят, что система обладает структурной устойчивостью.

Система является структурно неустойчивой, если при небольших изменениях, хотя бы одного из параметров, в фазовом портрете происходят структурные изменения. Что это значит? Основные качественные изменения фазового портрета происходят при изменении характера особых точек – при ветвлении решений, т.е. при бифуркациях, которые соответствуют неравновесным фазовым переходам системы. Таким образом, следует отметить, что структурная устойчивость нарушается при неравновесных фазовых переходах, когда состояние системы становится чувствительным к флуктуациям внешних (управляющих) параметров.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология