Эволюция систем – анализ динамической функции

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 26Следующая ⇒

Проведем изучение устойчивости динамических моделей систем с одной переменной. Динамическое уравнение таких систем имеет вид:

                                                              = F(q)                                                (7.27)    

Пусть система, описываемая данным уравнением, не градиентная. Поэтому для исследования ее будем анализировать характер устойчивости вблизи особых точек. Допустим, что графическое изображение функции F(q) в координатах F - q имеет вид, представленный на рис.7.8а. Чтоб определить значение q^(k), отвечающие стационарным состояниям, нужно решить уравнение F(q) = 0. Корнями такого уравнения являются q₀ = q^(k) при        k = 1,2…n.   

Рис.7.8. Графическое изображение системы с одной переменной

Для анализа устойчивости стационарных состояний дадим системе малое возмущение dq:

                                                q=q₀+ dq® dq= q-q₀ .                                  (7.28)

Разложим F(q) в ряд Тейлора вблизи точки q₀^(k):

                                                (7.29)

Так как F(q₀) = 0, то в линейном приближении предыдущее уравнение можно переписать в виде

                                                      ,                                      (7.30)

где .

Решением уравнения будет

                                                          dq(t)= dq(0) e^pt                                       (7.31)

Возможны две траектории движения системы вблизи особой точки:

- р<0,

тогда  при t ® ¥, стационарное состояние устойчиво;

- p > 0,

тогда  при t ® ¥, стационарное состояние неустойчиво.

Применим полученное решение к анализу ситуации, показанной на рис.7.8а. В точке q⁽¹⁾ p < 0 ( вспомним что р = F^¢(q₀), так как наклон кривой в точке отрицателен, то отрицательна и производная). Значит стационарное состояние при q⁽¹⁾ устойчиво. Далее понятно, что в точке q⁽²⁾ p > 0, т.е. стационарное состояние при q⁽²⁾ неустойчиво. Сложнее обстоит дело с точкой q⁽³⁾ в ней р = 0. В этом случае для изучения устойчивости придется взять второй член разложения функции F(q). При этом получим уравнение

                                     ,                      (7.32)      

решением которого будет

                                      .                          (7.33)       

Если dq(0) < 0 то система со временем возвращается в стационарное состояние при q⁽³⁾, но если dq(0) > 0, то она со временем от него уходит. Значит состояние при q⁽³⁾ неустойчивое.

Теперь, зная все обо всех стационарных состояниях заданной F(q), можно нарисовать фазовый портрет системы в фазовом пространстве, которое в случае одной переменной представляет собой ось q на рис.7.8б.

Таким образом, можно заключить, что при исследовании стационарных состояний систем с одной переменной возможны следующие случаи:

F¢(q₀^(k)) < 0 – стационарное состояние устойчиво,

F¢(q₀^(k)) > 0 – стационарное состояние неустойчиво,

F¢(q₀^(k)) = 0 – стационарное состояние неустойчиво.

Мы изучали устойчивость только для особых точек q₀. Во всех практически важных случаях этого оказывается достаточно, так как нас обычно интересует поведение системы не во всем фазовом пространстве, а в какой-то очень ограниченной его части. И в дальнейшем для большего числа переменных, мы сосредоточим внимание только на асимптотической устойчивости состояний.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры